Hai xe máy đồng thời xuất phát, chuyển động đều đi lại gặp nhau, một đi từ A đến B một đi từ B đến A. Sau khi gặp nhau tại nơi cách B 30 km, họ tiếp tụ hành trình của mình với vận tốc không đổi

Để giải bài toán này, ta cần xác định khoảng cách giữa hai điểm A và B (gọi là \( AB \)) và tỉ số vận tốc của hai xe máy.

Giả sử:
- Xe máy 1 đi từ A đến B với vận tốc \( v_1 \).
- Xe máy 2 đi từ B đến A với vận tốc \( v_2 \).
- Khoảng cách giữa A và B là \( d \) km.

Khi hai xe gặp nhau lần đầu tiên, họ gặp nhau tại điểm cách B 30 km, tức là cách A \( d - 30 \) km.

Sau khi gặp nhau, xe máy 1 tiếp tục đi thêm 30 km để đến B, và xe máy 2 tiếp tục đi thêm \( d - 30 \) km để đến A.

Khi quay trở về, họ gặp nhau lần thứ hai cách A 18 km, tức là cách B \( d - 18 \) km.

Gọi thời gian từ lúc xuất phát đến khi gặp nhau lần đầu tiên là \( t_1 \), và thời gian từ khi gặp nhau lần đầu tiên đến khi gặp nhau lần thứ hai là \( t_2 \).

Ta có các phương trình sau:

1. Từ lúc xuất phát đến khi gặp nhau lần đầu tiên:
\[ v_1 t_1 = d - 30 \]
\[ v_2 t_1 = 30 \]

2. Từ lúc gặp nhau lần đầu tiên đến khi gặp nhau lần thứ hai:
\[ v_1 t_2 = 30 + 18 \]
\[ v_2 t_2 = (d - 30) + (d - 18) \]

Ta có:
\[ v_1 t_2 = 48 \]
\[ v_2 t_2 = 2d - 48 \]

Từ phương trình (1), ta có:
\[ \frac{v_1}{v_2} = \frac{d - 30}{30} \]

Từ phương trình (2), ta có:
\[ \frac{v_1}{v_2} = \frac{48}{2d - 48} \]

Do đó:
\[ \frac{d - 30}{30} = \frac{48}{2d - 48} \]

Giải phương trình này:
\[ (d - 30)(2d - 48) = 30 \cdot 48 \]
\[ 2d^2 - 48d - 60d + 1440 = 1440 \]
\[ 2d^2 - 108d = 0 \]
\[ d(2d - 108) = 0 \]
\[ d = 54 \]

Vậy khoảng cách giữa A và B là 54 km.

Tỉ số vận tốc của hai xe:
\[ \frac{v_1}{v_2} = \frac{d - 30}{30} = \frac{54 - 30}{30} = \frac{24}{30} = \frac{4}{5} \]

Vậy tỉ số vận tốc của hai xe là \( \frac{4}{5} \).