Cho số hữu tỉ a/b với b > 0

Để chứng minh bất đẳng thức \(\frac{a}{b} > 1\) thì \(\frac{ab + 1}{b + 1} > \frac{a}{b}\), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Giả thiết**: \(\frac{a}{b} > 1\)
2. **Kết luận cần chứng minh**: \(\frac{ab + 1}{b + 1} > \frac{a}{b}\)

Bắt đầu từ giả thiết \(\frac{a}{b} > 1\), ta có:
\[ a > b \]

Ta cần chứng minh:
\[ \frac{ab + 1}{b + 1} > \frac{a}{b} \]

Để làm điều này, ta sẽ so sánh hai phân số bằng cách đưa chúng về cùng mẫu số:
\[ \frac{ab + 1}{b + 1} \quad \text{và} \quad \frac{a}{b} \]

Ta sẽ nhân cả tử và mẫu của \(\frac{a}{b}\) với \(b + 1\):
\[ \frac{a}{b} = \frac{a(b + 1)}{b(b + 1)} = \frac{ab + a}{b(b + 1)} \]

Bây giờ ta so sánh:
\[ \frac{ab + 1}{b + 1} \quad \text{và} \quad \frac{ab + a}{b(b + 1)} \]

Để so sánh hai phân số này, ta sẽ so sánh tử số của chúng khi mẫu số đã giống nhau:
\[ \frac{ab + 1}{b + 1} > \frac{ab + a}{b + 1} \]

Điều này tương đương với:
\[ ab + 1 > ab + a \]

Rút gọn hai vế của bất đẳng thức trên:
\[ 1 > a \]

Điều này mâu thuẫn với giả thiết \(a > b\) và \(b > 0\), vì \(a\) phải lớn hơn \(b\) và không thể nhỏ hơn 1 nếu \(b\) là số dương và \(a > b\).

Do đó, ta cần xem xét lại cách tiếp cận. Thay vào đó, ta sẽ sử dụng một cách tiếp cận khác để chứng minh bất đẳng thức này.

Ta sẽ sử dụng phép trừ để chứng minh:
\[ \frac{ab + 1}{b + 1} - \frac{a}{b} > 0 \]

Đưa về cùng mẫu số:
\[ \frac{ab + 1}{b + 1} - \frac{a}{b} = \frac{(ab + 1)b - a(b + 1)}{b(b + 1)} \]

Tính tử số:
\[ (ab + 1)b - a(b + 1) = ab^2 + b - ab - a = ab^2 + b - ab - a \]

Rút gọn tử số:
\[ ab^2 + b - ab - a = b(ab - a) + b - a = b(a - 1) + b - a \]

Rút gọn tiếp:
\[ b(a - 1) + b - a = b(a - 1) + (b - a) = b(a - 1) - (a - b) \]

Do \(a > b\), ta có \(a - b > 0\) và \(a - 1 > 0\), nên:
\[ b(a - 1) - (a - b) > 0 \]

Vì \(b > 0\), \(a - 1 > 0\), và \(a - b > 0\), ta có:
\[ b(a - 1) > a - b \]

Do đó:
\[ \frac{ab + 1}{b + 1} > \frac{a}{b} \]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng nếu \(\frac{a}{b} > 1\) thì \(\frac{ab + 1}{b + 1} > \frac{a}{b}\).