Để giải quyết các bài toán hình học này, chúng ta cần sử dụng các tính chất của tam giác, đường cao, trực tâm, trung điểm, và các phép đối xứng. Dưới đây là các bước giải chi tiết cho từng phần của bài toán:

### Câu 1a: Chứng minh rằng tứ giác BIKC là hình thang cân

1. **Định nghĩa các điểm:**
- H là trực tâm của tam giác ABC.
- M là trung điểm của BC.
- K là điểm đối xứng của H qua M.
- I là điểm đối xứng của H qua BC.

2. **Chứng minh K và I nằm trên đường thẳng song song với BC:**
- Vì K đối xứng với H qua M, nên \( K \) nằm trên đường thẳng qua M và song song với đường thẳng qua H và M.
- Vì I đối xứng với H qua BC, nên \( I \) nằm trên đường thẳng qua H và vuông góc với BC.

3. **Chứng minh BIKC là hình thang cân:**
- Do K đối xứng với H qua M, nên \( MK = MH \).
- Do I đối xứng với H qua BC, nên \( BI = BH \) và \( CI = CH \).
- Từ đó, ta có \( BK = CK \) và \( BI = CI \).
- Do đó, tứ giác BIKC có hai cạnh đối song song và hai cạnh bên bằng nhau, nên nó là hình thang cân.

### Câu 1b: Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC

1. **Định nghĩa các điểm:**
- O là giao điểm của trung trực của AC và AK.
- G là giao điểm của AM và HO.

2. **Chứng minh G là trọng tâm:**
- Trung trực của AC cắt AK tại O, nên O là trung điểm của AK.
- AM là trung tuyến của tam giác ABC.
- HO là đường trung tuyến của tam giác HAK.
- Do đó, G là giao điểm của các trung tuyến của tam giác ABC, nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

### Câu 1c: Chứng minh rằng EB là tia phân giác của \(\angle FED\) và \( AJ \cdot HD = AD \cdot HJ \)

1. **Định nghĩa các điểm:**
- J là giao điểm của EF và AH.

2. **Chứng minh EB là tia phân giác của \(\angle FED\):**
- Do H là trực tâm của tam giác ABC, nên các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
- J là giao điểm của EF và AH, nên J nằm trên đường cao AH.
- Do đó, EB là tia phân giác của \(\angle FED\).

3. **Chứng minh \( AJ \cdot HD = AD \cdot HJ \):**
- Sử dụng tính chất của các đường cao và trực tâm, ta có:
\[
\frac{AJ}{HJ} = \frac{AD}{HD}
\]
- Từ đó, ta suy ra:
\[
AJ \cdot HD = AD \cdot HJ
\]

### Hình vẽ

Để vẽ hình, bạn cần thực hiện các bước sau:
1. Vẽ tam giác nhọn ABC.
2. Vẽ các đường cao AD, BE, CF và trực tâm H.
3. Xác định trung điểm M của BC.
4. Vẽ điểm K đối xứng với H qua M.
5. Vẽ điểm I đối xứng với H qua BC.
6. Vẽ trung trực của AC và xác định giao điểm O với AK.
7. Vẽ đường thẳng AM và HO, xác định giao điểm G.
8. Vẽ giao điểm J của EF và AH.

Hy vọng các bước trên giúp bạn giải quyết bài toán một cách chi tiết và rõ ràng.