Để tìm giá trị nguyên của \( x \) sao cho \( (3x + 8) \) chia hết cho \( (x - 1) \), ta cần giải phương trình:

\[ \frac{3x + 8}{x - 1} \]

Để biểu thức này chia hết, tức là \( \frac{3x + 8}{x - 1} \) phải là một số nguyên. Ta có thể viết lại biểu thức này dưới dạng:

\[ 3x + 8 = k(x - 1) \]

với \( k \) là một số nguyên. Giải phương trình này cho \( x \):

\[ 3x + 8 = kx - k \]

Chuyển tất cả các hạng tử chứa \( x \) về một phía và các hạng tử còn lại về phía kia:

\[ 3x - kx = -k - 8 \]

\[ x(3 - k) = -k - 8 \]

\[ x = \frac{-k - 8}{3 - k} \]

Để \( x \) là một số nguyên, tử số \(-k - 8\) phải chia hết cho mẫu số \(3 - k\). Ta sẽ thử các giá trị của \( k \) để tìm các giá trị nguyên của \( x \).

1. \( k = 0 \):

\[ x = \frac{-0 - 8}{3 - 0} = \frac{-8}{3} \] (không phải số nguyên)

2. \( k = 1 \):

\[ x = \frac{-1 - 8}{3 - 1} = \frac{-9}{2} \] (không phải số nguyên)

3. \( k = 2 \):

\[ x = \frac{-2 - 8}{3 - 2} = \frac{-10}{1} = -10 \] (là số nguyên)

4. \( k = 3 \):

\[ x = \frac{-3 - 8}{3 - 3} \] (không xác định vì mẫu số bằng 0)

5. \( k = 4 \):

\[ x = \frac{-4 - 8}{3 - 4} = \frac{-12}{-1} = 12 \] (là số nguyên)

Vậy, các giá trị nguyên của \( x \) thỏa mãn điều kiện là \( x = -10 \) và \( x = 12 \).

Kiểm tra lại:

- Với \( x = -10 \):

\[ 3(-10) + 8 = -30 + 8 = -22 \]
\[ -10 - 1 = -11 \]
\[ \frac{-22}{-11} = 2 \] (chia hết)

- Với \( x = 12 \):

\[ 3(12) + 8 = 36 + 8 = 44 \]
\[ 12 - 1 = 11 \]
\[ \frac{44}{11} = 4 \] (chia hết)

Vậy, các giá trị nguyên của \( x \) là \( x = -10 \) và \( x = 12 \).