a) Tính S

Ta có dãy số S = 1 - 5 + 5^2 - 5^3 + ... + 5^98 - 5^99.

Đây là một dãy số hình học có dấu xen kẽ. Ta có thể viết lại dãy số này như sau:

\[ S = \sum_{k=0}^{99} (-1)^k \cdot 5^k \]

Để tính tổng của dãy số này, ta sử dụng công thức tổng của một cấp số nhân có dấu xen kẽ. Tổng của một cấp số nhân có dấu xen kẽ được tính như sau:

\[ S = \frac{a_1 (1 - r^n)}{1 - r} \]

Trong đó:
- \( a_1 \) là số hạng đầu tiên của dãy số.
- \( r \) là công bội của dãy số.
- \( n \) là số lượng số hạng của dãy số.

Ở đây:
- \( a_1 = 1 \)
- \( r = -5 \)
- \( n = 100 \) (vì dãy số có từ \( 5^0 \) đến \( 5^{99} \))

Áp dụng công thức:

\[ S = \frac{1 \cdot (1 - (-5)^{100})}{1 - (-5)} \]

Ta tính \( (-5)^{100} \):

\[ (-5)^{100} = 5^{100} \]

Do đó:

\[ S = \frac{1 - 5^{100}}{1 + 5} = \frac{1 - 5^{100}}{6} \]

Vậy:

\[ S = \frac{1 - 5^{100}}{6} \]

b) Chứng minh \( 5^{100} \) chia cho 6 dư 1

Ta sử dụng định lý Fermat nhỏ để chứng minh điều này. Định lý Fermat nhỏ phát biểu rằng nếu \( p \) là một số nguyên tố và \( a \) là một số nguyên không chia hết cho \( p \), thì:

\[ a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} \]

Ở đây, \( p = 6 \) không phải là số nguyên tố, nhưng ta có thể sử dụng tính chất của số dư để chứng minh.

Ta biết rằng:

\[ 5 \equiv -1 \pmod{6} \]

Do đó:

\[ 5^{100} \equiv (-1)^{100} \pmod{6} \]

Vì \( (-1)^{100} = 1 \):

\[ 5^{100} \equiv 1 \pmod{6} \]

Vậy \( 5^{100} \) chia cho 6 dư 1.