Tính P = (a^3 + 2b^3 + 3c^3)/(a + 2b + 3c)^3

Để tính giá trị của biểu thức \( P = \frac{a^3 + 2b^3 + 3c^3}{(a + 2b + 3c)^3} \) với các số thực \( a, b, c \) thỏa mãn \( 2|a-b| = 4|b-c| = 5|c-a| \), ta cần phân tích các điều kiện này.

Đặt \( x = |a - b| \), \( y = |b - c| \), và \( z = |c - a| \). Theo điều kiện bài toán, ta có:
\[ 2x = 4y = 5z \]

Từ đây, ta có:
\[ x = 2k, \quad y = k, \quad z = \frac{4k}{5} \]

Vì \( x = |a - b| \), \( y = |b - c| \), và \( z = |c - a| \), ta có thể giả sử \( a, b, c \) là các số thực sao cho:
\[ a - b = 2k, \quad b - c = k, \quad c - a = -\frac{4k}{5} \]

Từ các phương trình trên, ta có:
\[ a = b + 2k \]
\[ b = c + k \]
\[ c = a - \frac{4k}{5} \]

Thay \( b = c + k \) vào phương trình \( a = b + 2k \):
\[ a = (c + k) + 2k = c + 3k \]

Thay \( c = a - \frac{4k}{5} \) vào phương trình trên:
\[ a = (a - \frac{4k}{5}) + 3k \]
\[ a = a - \frac{4k}{5} + 3k \]
\[ 0 = -\frac{4k}{5} + 3k \]
\[ 0 = -\frac{4k}{5} + \frac{15k}{5} \]
\[ 0 = \frac{11k}{5} \]

Điều này chỉ xảy ra khi \( k = 0 \), tức là \( a = b = c \).

Khi \( a = b = c \), ta có:
\[ P = \frac{a^3 + 2a^3 + 3a^3}{(a + 2a + 3a)^3} = \frac{6a^3}{6a^3} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36} \]

Vậy giá trị của \( P \) là:
\[ P = \frac{1}{36} \]