Để giải hệ phương trình này, ta có:

\[
\begin{cases}
\frac{2}{x+2} + \frac{y-3}{y-4} = 6 \\
\frac{2}{x+2} - \frac{2}{y-4} = 4
\end{cases}
\]

Bước 1: Đặt \( \frac{2}{x+2} = a \) và \( \frac{2}{y-4} = b \). Khi đó hệ phương trình trở thành:

\[
\begin{cases}
a + \frac{y-3}{y-4} = 6 \\
a - b = 4
\end{cases}
\]

Bước 2: Từ phương trình thứ hai, ta có:

\[
a = b + 4
\]

Thay vào phương trình thứ nhất:

\[
(b + 4) + \frac{y-3}{y-4} = 6
\]

\[
b + 4 + \frac{y-3}{y-4} = 6
\]

\[
b + \frac{y-3}{y-4} = 2
\]

Bước 3: Biến đổi phương trình trên:

\[
b = 2 - \frac{y-3}{y-4}
\]

Thay \( b = \frac{2}{y-4} \) vào:

\[
\frac{2}{y-4} = 2 - \frac{y-3}{y-4}
\]

Nhân cả hai vế với \( y-4 \):

\[
2 = (2 - \frac{y-3}{y-4})(y-4)
\]

\[
2 = 2(y-4) - (y-3)
\]

\[
2 = 2y - 8 - y + 3
\]

\[
2 = y - 5
\]

\[
y = 7
\]

Bước 4: Thay \( y = 7 \) vào \( b = \frac{2}{y-4} \):

\[
b = \frac{2}{7-4} = \frac{2}{3}
\]

Bước 5: Thay \( b = \frac{2}{3} \) vào \( a = b + 4 \):

\[
a = \frac{2}{3} + 4 = \frac{2}{3} + \frac{12}{3} = \frac{14}{3}
\]

Bước 6: Thay \( a = \frac{14}{3} \) vào \( \frac{2}{x+2} = a \):

\[
\frac{2}{x+2} = \frac{14}{3}
\]

\[
2 = \frac{14(x+2)}{3}
\]

\[
6 = 14(x+2)
\]

\[
6 = 14x + 28
\]

\[
14x = -22
\]

\[
x = -\frac{22}{14} = -\frac{11}{7}
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

\[
\begin{cases}
x = -\frac{11}{7} \\
y = 7
\end{cases}
\]