### Bài 59:
Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm chính giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI, cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh:

a) Tam giác DIL là tam giác cân:
- Vì I là trung điểm của AB nên DI là đường trung tuyến của tam giác vuông ABD.
- Đường thẳng qua D vuông góc với DI nên DL là đường cao của tam giác DIL.
- Do đó, tam giác DIL là tam giác cân tại D.

b) Tổng \(\frac{1}{DI^2} + \frac{1}{DK^2}\) không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB:
- Khi I thay đổi trên cạnh AB, DI luôn là đường trung tuyến của tam giác vuông ABD.
- Do đó, DI luôn có độ dài không đổi.
- Tương tự, DK cũng không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.
- Vì vậy, tổng \(\frac{1}{DI^2} + \frac{1}{DK^2}\) không đổi.

### Bài 60:
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm, BC = 15cm.

a) Tính độ dài đoạn thẳng BD:
- Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABD:
\[ BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 \text{ cm} \]

b) Vẽ AH vuông góc với BD tại H. Tính độ dài đoạn thẳng AH:
- Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AHD:
\[ AH = \frac{AB \times AD}{BD} = \frac{8 \times 15}{17} = \frac{120}{17} \approx 7.06 \text{ cm} \]

c) Đường thẳng AH cắt BC và DC lần lượt tại I và K. Chứng minh AH = HI.HK:
- Sử dụng tính chất của tam giác vuông và đường cao:
\[ AH^2 = HI \times HK \]

### Bài 61:
Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Cho biết AB = 15cm, AD = 20cm, các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau ở O. Tính:

a) Độ dài các đoạn thẳng OB và OD:
- Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AOB và AOD:
\[ OB = \sqrt{AB^2 + AO^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25 \text{ cm} \]
\[ OD = \sqrt{AD^2 + AO^2} = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25 \text{ cm} \]

b) Độ dài đoạn thẳng AC:
- Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ACD:
\[ AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25 \text{ cm} \]