Để giải bài toán này, chúng ta cần lập hệ phương trình dựa trên các thông tin đã cho.

Gọi \( x \) là chiều dài ban đầu của vườn trường (đơn vị: mét) và \( y \) là chiều rộng ban đầu của vườn trường (đơn vị: mét).

Theo đề bài, chu vi của vườn trường ban đầu là 120 mét. Chu vi của hình chữ nhật được tính bằng công thức:
\[ 2(x + y) = 120 \]
Từ đó, ta có phương trình thứ nhất:
\[ x + y = 60 \quad \text{(1)} \]

Sau khi mở rộng, chiều dài tăng thêm 5 mét và chiều rộng tăng thêm 3 mét, diện tích của vườn trường tăng thêm 245 mét vuông. Diện tích ban đầu của vườn trường là \( x \times y \), và diện tích sau khi mở rộng là \( (x + 5) \times (y + 3) \). Theo đề bài, diện tích tăng thêm 245 mét vuông, do đó:
\[ (x + 5)(y + 3) = xy + 245 \]

Mở rộng phương trình trên:
\[ xy + 3x + 5y + 15 = xy + 245 \]

Loại bỏ \( xy \) ở cả hai vế:
\[ 3x + 5y + 15 = 245 \]
Từ đó, ta có phương trình thứ hai:
\[ 3x + 5y = 230 \quad \text{(2)} \]

Bây giờ, chúng ta có hệ phương trình:
\[ \begin{cases}
x + y = 60 \quad \text{(1)} \\
3x + 5y = 230 \quad \text{(2)}
\end{cases} \]

Giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số. Ở đây, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thế.

Từ phương trình (1), ta có:
\[ y = 60 - x \]

Thay \( y \) vào phương trình (2):
\[ 3x + 5(60 - x) = 230 \]
\[ 3x + 300 - 5x = 230 \]
\[ -2x + 300 = 230 \]
\[ -2x = 230 - 300 \]
\[ -2x = -70 \]
\[ x = 35 \]

Thay \( x = 35 \) vào phương trình (1):
\[ 35 + y = 60 \]
\[ y = 25 \]

Vậy, chiều dài ban đầu của vườn trường là 35 mét và chiều rộng ban đầu là 25 mét.

Đáp số:
- Chiều dài ban đầu: 35 mét
- Chiều rộng ban đầu: 25 mét