Cho hình bình hành ABCD. Kẻ BM, DN vuông góc với AC ( M, N ∈ AC)

Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần theo yêu cầu.

1) **Chứng minh: AM = CN.**

- Vì BM và DN vuông góc với AC tại M và N, nên BM và DN là các đường cao của các tam giác vuông ABM và CDN.
- Trong hình bình hành ABCD, AC là đường chéo, nên AC chia hình bình hành thành hai tam giác bằng nhau: tam giác ABC và tam giác ADC.
- Do đó, AM và CN là các đoạn thẳng từ đỉnh A và C đến trung điểm của AC, nên AM = CN.

2) **Chứng minh tứ giác BMDN là hình bình hành.**

- Ta đã biết BM và DN vuông góc với AC tại M và N.
- Trong hình bình hành ABCD, các cạnh đối song song và bằng nhau: AB // CD và AD // BC.
- Do BM và DN vuông góc với AC, nên BM // DN.
- Vì BM và DN là các đoạn thẳng từ các đỉnh của hình bình hành đến các điểm trên đường chéo AC, nên BM = DN.
- Do đó, tứ giác BMDN có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên BMDN là hình bình hành.

3) **Gọi K là điểm đối xứng với B qua M. Tứ giác ADKC là hình gì? Vì sao?**

- Vì K là điểm đối xứng với B qua M, nên M là trung điểm của BK.
- Do đó, BK = 2BM.
- Trong hình bình hành ABCD, ta có AB = CD và AB // CD.
- Vì K đối xứng với B qua M, nên K cũng nằm trên đường thẳng song song với AB và CD.
- Do đó, tứ giác ADKC có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên ADKC là hình bình hành.

4) **Tia BN cắt tia KD tại P. Chứng minh các đường thẳng PM, BD, KN đồng qui.**

- Ta đã biết BM và DN vuông góc với AC tại M và N.
- Vì K là điểm đối xứng với B qua M, nên M là trung điểm của BK.
- Do đó, PM là đường trung trực của BK.
- Trong hình bình hành ABCD, các đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
- Vì vậy, BD cắt AC tại trung điểm của AC, tức là tại M.
- Do đó, PM, BD và KN đều đi qua trung điểm của các đoạn thẳng tương ứng, nên chúng đồng qui tại M.

Như vậy, ta đã chứng minh xong các yêu cầu của bài toán.