Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước chứng minh như sau:

### a) Chứng minh OE = OF

1. **Xét tam giác ABD và tam giác CBD:**
- Vì AB // CD, nên hai tam giác ABD và CBD là hai tam giác đồng dạng (góc ADB = góc CDB và góc ABD = góc CBD).

2. **Xét tam giác AOD và tam giác COD:**
- Vì O là giao điểm của AC và BD, nên hai tam giác AOD và COD cũng đồng dạng (góc AOD = góc COD và góc OAD = góc OCD).

3. **Xét tam giác AOE và tam giác COF:**
- Vì OE // AB và OF // AB, nên góc AOE = góc COF (góc đồng vị).
- Góc OAE = góc OCF (góc đồng vị).

Do đó, tam giác AOE và tam giác COF đồng dạng (góc-góc).

4. **Từ tính chất đồng dạng của tam giác AOE và tam giác COF:**
- Ta có tỉ số các cạnh tương ứng: \(\frac{AO}{CO} = \frac{OE}{OF}\).

5. **Vì O là giao điểm của AC và BD:**
- Nên AO = CO (do O là trung điểm của AC và BD).

6. **Từ đó suy ra:**
- \(\frac{AO}{CO} = 1\), nên \(\frac{OE}{OF} = 1\), tức là OE = OF.

### b) Chứng minh \(\frac{1}{OE} = \frac{1}{AB} + \frac{1}{CD}\)

1. **Sử dụng tính chất của hình thang:**
- Vì AB // CD, nên hai tam giác ABD và CBD đồng dạng.

2. **Xét tam giác AOE và tam giác COF:**
- Từ phần a, ta đã chứng minh tam giác AOE và tam giác COF đồng dạng.

3. **Sử dụng định lý Thales:**
- Trong tam giác ABD, ta có: \(\frac{OE}{AB} = \frac{AO}{AD}\).
- Trong tam giác CBD, ta có: \(\frac{OF}{CD} = \frac{CO}{CD}\).

4. **Từ phần a, ta đã biết AO = CO:**
- Nên \(\frac{OE}{AB} = \frac{OF}{CD}\).

5. **Vì OE = OF:**
- Nên \(\frac{OE}{AB} = \frac{OE}{CD}\).

6. **Từ đó suy ra:**
- \(\frac{OE}{AB} + \frac{OE}{CD} = 1\).

7. **Chia cả hai vế của phương trình trên cho OE:**
- \(\frac{1}{AB} + \frac{1}{CD} = \frac{1}{OE}\).

Vậy ta đã chứng minh được \(\frac{1}{OE} = \frac{1}{AB} + \frac{1}{CD}\).