Cho tam giác ABC vuông tại A, AB

Để chứng minh \( IB = IK \), ta sẽ sử dụng các tính chất của hình học phẳng, đặc biệt là các tính chất của tam giác vuông, trung điểm, và các đường song song.

1. **Xác định các điểm và các đường thẳng:**

- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), với \( AB < AC \).
- \( AH \) vuông góc với \( BC \) tại \( H \).
- \( M \) là trung điểm của \( AC \).
- \( BM \) cắt \( AH \) tại \( E \).
- Qua \( E \) kẻ đường thẳng song song với \( AC \), cắt \( BC \) tại \( F \).
- Đường thẳng qua \( B \) kẻ song song với \( AC \) cắt \( MF \) tại \( I \).

2. **Chứng minh \( IB = IK \):**

- Đầu tiên, ta nhận thấy rằng \( AF \parallel AC \) và \( AF \) cắt \( BM \) tại \( K \).
- Do \( E \) nằm trên \( AH \) và \( E \) là giao điểm của \( BM \) và đường thẳng song song với \( AC \) qua \( E \), nên \( E \) là điểm đặc biệt trên \( AH \).

- Xét tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \):
- \( M \) là trung điểm của \( AC \), do đó \( M \) chia \( AC \) thành hai đoạn bằng nhau.
- \( BM \) là đường trung tuyến của tam giác \( ABC \).

- Xét tam giác \( BMF \):
- \( BM \) là đường trung tuyến.
- \( I \) là điểm trên đường thẳng qua \( B \) song song với \( AC \), cắt \( MF \) tại \( I \).

- Do \( AF \parallel AC \) và \( B \) nằm trên đường thẳng song song với \( AC \) qua \( B \), nên \( I \) là điểm đối xứng của \( K \) qua \( B \).

- Vì \( I \) và \( K \) đối xứng nhau qua \( B \), ta có:
\[
IB = IK
\]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( IB = IK \).