Để tính độ dài các cạnh AC và BC của tam giác ABC vuông tại A, ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản và định lý Pythagore.

1) AB = 12 cm, tan B = 3/4
- Ta có tan B = AC/AB, suy ra AC = AB * tan B = 12 * (3/4) = 9 cm.
- Sử dụng định lý Pythagore: BC = √(AB^2 + AC^2) = √(12^2 + 9^2) = √(144 + 81) = √225 = 15 cm.

2) AB = 15 cm, cos B = 5/13
- Ta có cos B = AB/BC, suy ra BC = AB / cos B = 15 / (5/13) = 15 * (13/5) = 39 cm.
- Sử dụng định lý Pythagore: AC = √(BC^2 - AB^2) = √(39^2 - 15^2) = √(1521 - 225) = √1296 = 36 cm.

3) AB = 2√3 cm, cot B = √3
- Ta có cot B = AB/AC, suy ra AC = AB / cot B = 2√3 / √3 = 2 cm.
- Sử dụng định lý Pythagore: BC = √(AB^2 + AC^2) = √((2√3)^2 + 2^2) = √(12 + 4) = √16 = 4 cm.

4) AB = 1 cm, sin B = √3/2
- Ta có sin B = AC/BC, suy ra AC = BC * sin B.
- Sử dụng định lý Pythagore và công thức sin: sin B = AC/BC, suy ra BC = AB / cos B = 1 / (√(1 - sin^2 B)) = 1 / (√(1 - (√3/2)^2)) = 1 / (√(1 - 3/4)) = 1 / (√(1/4)) = 1 / (1/2) = 2 cm.
- Suy ra AC = BC * sin B = 2 * (√3/2) = √3 cm.

Tóm lại:
1) AC = 9 cm, BC = 15 cm.
2) AC = 36 cm, BC = 39 cm.
3) AC = 2 cm, BC = 4 cm.
4) AC = √3 cm, BC = 2 cm.