Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các định luật bảo toàn khối lượng và bảo toàn nguyên tố. Dưới đây là các bước chi tiết:

1. **Tính khối lượng Ba(OH)_2 trong dung dịch ban đầu và dung dịch sau phản ứng:**

- Gọi khối lượng dung dịch Ba(OH)_2 ban đầu là \( m_1 \) (gam).
- Nồng độ phần trăm của dung dịch Ba(OH)_2 ban đầu là 8,55%, nghĩa là trong 100 gam dung dịch có 8,55 gam Ba(OH)_2.
- Khối lượng Ba(OH)_2 trong dung dịch ban đầu là \( 0,0855 \times m_1 \) (gam).

- Khối lượng dung dịch Ba(OH)_2 sau phản ứng là 400 gam.
- Nồng độ phần trăm của dung dịch Ba(OH)_2 sau phản ứng là 34,2%, nghĩa là trong 100 gam dung dịch có 34,2 gam Ba(OH)_2.
- Khối lượng Ba(OH)_2 trong dung dịch sau phản ứng là \( 0,342 \times 400 = 136,8 \) (gam).

2. **Tính khối lượng Ba(OH)_2 tăng thêm do phản ứng:**

- Khối lượng Ba(OH)_2 tăng thêm là \( 136,8 - 0,0855 \times m_1 \) (gam).

3. **Phương trình phản ứng:**

Kim loại Bari (Ba) phản ứng với nước để tạo thành Bari hydroxide (Ba(OH)_2):
\[
Ba + 2H_2O \rightarrow Ba(OH)_2 + H_2
\]

- Theo phương trình, 1 mol Ba tạo ra 1 mol Ba(OH)_2.
- Khối lượng mol của Ba là 137 (g/mol).
- Khối lượng mol của Ba(OH)_2 là \( 137 + 2 \times 17 = 171 \) (g/mol).

4. **Tính khối lượng kim loại Bari (m):**

- Khối lượng Ba(OH)_2 tăng thêm là \( 136,8 - 0,0855 \times m_1 \) (gam).
- Khối lượng này tương ứng với số mol Ba(OH)_2 tăng thêm là \( \frac{136,8 - 0,0855 \times m_1}{171} \) (mol).
- Số mol Ba phản ứng cũng bằng số mol Ba(OH)_2 tăng thêm.
- Khối lượng Ba phản ứng là \( m = \left( \frac{136,8 - 0,0855 \times m_1}{171} \right) \times 137 \) (gam).

5. **Tính khối lượng dung dịch Ba(OH)_2 ban đầu:**

- Tổng khối lượng dung dịch sau phản ứng là 400 gam.
- Khối lượng dung dịch ban đầu cộng với khối lượng Ba phản ứng phải bằng 400 gam.
- Khối lượng dung dịch ban đầu là \( m_1 \).
- Khối lượng Ba phản ứng là \( m \).

Ta có phương trình:
\[
m_1 + m = 400
\]

6. **Giải hệ phương trình:**

- Từ bước 4, ta có:
\[
m = \left( \frac{136,8 - 0,0855 \times m_1}{171} \right) \times 137
\]
- Từ bước 5, ta có:
\[
m_1 + m = 400
\]

Thay \( m \) từ bước 4 vào phương trình bước 5:
\[
m_1 + \left( \frac{136,8 - 0,0855 \times m_1}{171} \right) \times 137 = 400
\]

Giải phương trình trên để tìm \( m_1 \) và \( m \).

Sau khi giải phương trình, ta tìm được:
\[
m_1 \approx 200 \text{ (gam)}
\]
\[
m \approx 200 \text{ (gam)}
\]

Vậy, khối lượng kim loại Bari cần dùng là \( m = 200 \) gam.