Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần một cách chi tiết.

### Phần a: Tính độ dài đoạn BC

Cho tia Ax với hai điểm B và C sao cho AB = 3 cm và AC = 7 cm. Vì B và C nằm trên cùng một tia Ax, và A là điểm gốc của tia, nên điểm B nằm giữa A và C.

Độ dài đoạn BC có thể tính bằng cách lấy độ dài đoạn AC trừ đi độ dài đoạn AB:
\[ BC = AC - AB \]

Thay số vào:
\[ BC = 7 \text{ cm} - 3 \text{ cm} = 4 \text{ cm} \]

Vậy độ dài đoạn BC là 4 cm.

### Phần b: Kiểm tra xem A có phải là trung điểm của đoạn thẳng BD không

Trên tia đối của tia Ax, lấy điểm D sao cho AD = 3 cm. Chúng ta cần kiểm tra xem A có phải là trung điểm của đoạn thẳng BD không.

Để A là trung điểm của đoạn thẳng BD, thì độ dài đoạn BA phải bằng độ dài đoạn AD.

Từ đề bài, ta có:
- AB = 3 cm
- AD = 3 cm

Vì AB = AD, nên A là trung điểm của đoạn thẳng BD.

### Vẽ hình minh họa

1. Vẽ tia Ax với điểm A là gốc.
2. Trên tia Ax, lấy điểm B sao cho AB = 3 cm.
3. Trên tia Ax, tiếp tục lấy điểm C sao cho AC = 7 cm.
4. Trên tia đối của tia Ax, lấy điểm D sao cho AD = 3 cm.

Hình vẽ sẽ như sau:

```
D-----A-----B---------C
| | | |
3cm 3cm 4cm 7cm
```

Trong đó:
- Điểm A là gốc của tia Ax.
- Điểm B nằm trên tia Ax với AB = 3 cm.
- Điểm C nằm trên tia Ax với AC = 7 cm.
- Điểm D nằm trên tia đối của tia Ax với AD = 3 cm.

Từ hình vẽ và các tính toán trên, ta thấy rằng A là trung điểm của đoạn thẳng BD.