Để tìm chữ số tận cùng của các số \( 19^{5^{2005}} \), \( 234^{5^6^7} \), và \( 579^{6^7^5} \), ta cần tìm chữ số tận cùng của các số này khi chúng được nâng lên lũy thừa cao. Chúng ta sẽ sử dụng tính chất của chu kỳ chữ số tận cùng của các số khi nâng lên lũy thừa.

### 1. Chữ số tận cùng của \( 19^{5^{2005}} \)

Chữ số tận cùng của 19 là 9. Chúng ta cần tìm chu kỳ của chữ số tận cùng của \( 9^n \):

- \( 9^1 = 9 \) (chữ số tận cùng là 9)
- \( 9^2 = 81 \) (chữ số tận cùng là 1)
- \( 9^3 = 729 \) (chữ số tận cùng là 9)
- \( 9^4 = 6561 \) (chữ số tận cùng là 1)

Ta thấy chu kỳ của chữ số tận cùng của \( 9^n \) là 2 (9, 1).

Bây giờ ta cần tìm \( 5^{2005} \mod 2 \):

- \( 5 \mod 2 = 1 \)
- \( 5^n \mod 2 = 1 \) với mọi \( n \geq 1 \)

Vậy \( 5^{2005} \mod 2 = 1 \).

Do đó, chữ số tận cùng của \( 19^{5^{2005}} \) là chữ số tận cùng của \( 9^1 \), tức là 9.

### 2. Chữ số tận cùng của \( 234^{5^6^7} \)

Chữ số tận cùng của 234 là 4. Chúng ta cần tìm chu kỳ của chữ số tận cùng của \( 4^n \):

- \( 4^1 = 4 \) (chữ số tận cùng là 4)
- \( 4^2 = 16 \) (chữ số tận cùng là 6)
- \( 4^3 = 64 \) (chữ số tận cùng là 4)
- \( 4^4 = 256 \) (chữ số tận cùng là 6)

Ta thấy chu kỳ của chữ số tận cùng của \( 4^n \) là 2 (4, 6).

Bây giờ ta cần tìm \( 5^6^7 \mod 2 \):

- \( 5 \mod 2 = 1 \)
- \( 5^n \mod 2 = 1 \) với mọi \( n \geq 1 \)

Vậy \( 5^6^7 \mod 2 = 1 \).

Do đó, chữ số tận cùng của \( 234^{5^6^7} \) là chữ số tận cùng của \( 4^1 \), tức là 4.

### 3. Chữ số tận cùng của \( 579^{6^7^5} \)

Chữ số tận cùng của 579 là 9. Chúng ta đã biết chu kỳ của chữ số tận cùng của \( 9^n \) là 2 (9, 1).

Bây giờ ta cần tìm \( 6^7^5 \mod 2 \):

- \( 6 \mod 2 = 0 \)
- \( 6^n \mod 2 = 0 \) với mọi \( n \geq 1 \)

Vậy \( 6^7^5 \mod 2 = 0 \).

Do đó, chữ số tận cùng của \( 579^{6^7^5} \) là chữ số tận cùng của \( 9^0 \), tức là 1.

### Kết luận

- Chữ số tận cùng của \( 19^{5^{2005}} \) là 9.
- Chữ số tận cùng của \( 234^{5^6^7} \) là 4.
- Chữ số tận cùng của \( 579^{6^7^5} \) là 1.