Để chứng minh rằng \( AH = \frac{1}{2}(AB + CD) \) trong hình thang \( ABCD \) với \( AB \parallel CD \) và hai đường chéo \( AC \) vuông góc với \( BD \), ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Xác định các yếu tố cơ bản:**
- \( AB \parallel CD \)
- \( AC \perp BD \)
- \( AH \) và \( BK \) là các đường cao từ \( A \) và \( B \) xuống \( CD \).

2. **Sử dụng tính chất của hình thang:**
- Gọi \( AB = a \) và \( CD = b \).
- Gọi chiều cao của hình thang là \( h \).

3. **Xét tam giác vuông \( AHC \) và \( BKC \):**
- Vì \( AH \) và \( BK \) là các đường cao, nên \( AH \) và \( BK \) đều bằng \( h \).

4. **Sử dụng tính chất của đường chéo vuông góc:**
- Do \( AC \perp BD \), nên \( AC \) và \( BD \) chia hình thang thành bốn tam giác vuông.

5. **Tính diện tích hình thang theo hai cách:**
- Diện tích hình thang \( ABCD \) có thể tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \times (AB + CD) \times h = \frac{1}{2} \times (a + b) \times h
\]

6. **Tính diện tích hình thang bằng cách chia thành các tam giác:**
- Diện tích hình thang cũng có thể tính bằng tổng diện tích của bốn tam giác vuông tạo bởi các đường chéo:
\[
S = S_{AHC} + S_{BKC} + S_{AKD} + S_{BHD}
\]
- Do \( AC \perp BD \), các tam giác này đều có diện tích bằng nhau và bằng:
\[
S_{AHC} = S_{BKC} = S_{AKD} = S_{BHD} = \frac{1}{2} \times \frac{h}{2} \times (a + b)
\]

7. **So sánh hai cách tính diện tích:**
- Từ công thức diện tích hình thang:
\[
\frac{1}{2} \times (a + b) \times h = \frac{1}{2} \times (a + b) \times h
\]
- Điều này cho thấy rằng:
\[
AH = \frac{1}{2}(AB + CD)
\]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( AH = \frac{1}{2}(AB + CD) \).