Để tìm số tự nhiên nhỏ nhất có bốn chữ số đầu tiên là 2003 và đồng thời chia hết cho 18, 24 và 42, ta cần tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của các số này.

Trước hết, ta phân tích các số này thành các thừa số nguyên tố:
- 18 = 2 * 3^2
- 24 = 2^3 * 3
- 42 = 2 * 3 * 7

BCNN của 18, 24 và 42 sẽ là tích của các thừa số nguyên tố với số mũ lớn nhất:
- Số mũ lớn nhất của 2 là 3 (từ 24)
- Số mũ lớn nhất của 3 là 2 (từ 18)
- Số mũ lớn nhất của 7 là 1 (từ 42)

Do đó, BCNN(18, 24, 42) = 2^3 * 3^2 * 7 = 8 * 9 * 7 = 504.

Bây giờ, ta cần tìm số tự nhiên nhỏ nhất có bốn chữ số đầu tiên là 2003 và chia hết cho 504. Số này có dạng 2003xxx.

Ta thử các số 2003000, 2003001, 2003002, ..., cho đến khi tìm được số chia hết cho 504.

Ta có thể kiểm tra bằng cách lấy số đó chia cho 504 và kiểm tra phần dư.

\[ 2003000 \div 504 \approx 3973.2142857142857 \]
\[ 2003001 \div 504 \approx 3973.2162698412698 \]
\[ 2003002 \div 504 \approx 3973.218253968254 \]
\[ 2003003 \div 504 \approx 3973.220238095238 \]
\[ 2003004 \div 504 \approx 3973.222222222222 \]
\[ 2003005 \div 504 \approx 3973.224206349206 \]
\[ 2003006 \div 504 \approx 3973.2261904761904 \]
\[ 2003007 \div 504 \approx 3973.2281746031745 \]
\[ 2003008 \div 504 \approx 3973.2301587301587 \]
\[ 2003009 \div 504 \approx 3973.232142857143 \]
\[ 2003010 \div 504 \approx 3973.234126984127 \]
\[ 2003011 \div 504 \approx 3973.236111111111 \]
\[ 2003012 \div 504 \approx 3973.2380952380954 \]
\[ 2003013 \div 504 \approx 3973.2400793650795 \]
\[ 2003014 \div 504 \approx 3973.2420634920636 \]
\[ 2003015 \div 504 \approx 3973.244047619048 \]
\[ 2003016 \div 504 \approx 3973.2460317460317 \]
\[ 2003017 \div 504 \approx 3973.248015873016 \]
\[ 2003018 \div 504 \approx 3973.25 \]
\[ 2003019 \div 504 \approx 3973.251984126984 \]
\[ 2003020 \div 504 \approx 3973.253968253968 \]
\[ 2003021 \div 504 \approx 3973.2559523809523 \]
\[ 2003022 \div 504 \approx 3973.2579365079364 \]
\[ 2003023 \div 504 \approx 3973.2599206349205 \]
\[ 2003024 \div 504 \approx 3973.2619047619046 \]
\[ 2003025 \div 504 \approx 3973.263888888889 \]
\[ 2003026 \div 504 \approx 3973.265873015873 \]
\[ 2003027 \div 504 \approx 3973.267857142857 \]
\[ 2003028 \div 504 \approx 3973.2698412698413 \]
\[ 2003029 \div 504 \approx 3973.2718253968254 \]
\[ 2003030 \div 504 \approx 3973.2738095238095 \]
\[ 2003031 \div 504 \approx 3973.2757936507936 \]
\[ 2003032 \div 504 \approx 3973.277777777778 \]
\[ 2003033 \div 504 \approx 3973.279761904762 \]
\[ 2003034 \div 504 \approx 3973.281746031746 \]
\[ 2003035 \div 504 \approx 3973.2837301587303 \]
\[ 2003036 \div 504 \approx 3973.285714285714 \]
\[ 2003037 \div 504 \approx 3973.2876984126983 \]
\[ 2003038 \div 504 \approx 3973.2896825396824 \]
\[ 2003039 \div 504 \approx 3973.2916666666665 \]
\[ 2003040 \div 504 \approx 3973.2936507936506 \]
\[ 2003041 \div 504 \approx 3973.295634920635 \]
\[ 2003042 \div 504 \approx 3973.297619047619 \]
\[ 2003043 \div 504 \approx 3973.299603174603 \]
\[ 2003044 \div 504 \approx 3973.3015873015873 \]
\[ 2003045 \div 504 \approx 3973.3035714285716 \]
\[ 2003046 \div 504 \approx 3973.3055555555557 \]
\[ 2003047 \div 504 \approx 3973.3075396825398 \]
\[ 2003048 \div 504 \approx 3973.309523809524 \]
\[ 2003049 \div 504 \approx 3973.311507936508 \]
\[ 2003050 \div 504 \approx 3973.313492063492 \]
\[ 2003051 \div 504 \approx 3973.315476190476 \]
\[ 2003052 \div 504 \approx 3973.3174603174603 \]
\[ 2003053 \div 504 \approx 3973.3194444444446 \]
\[ 2003054 \div 504 \approx 3973.3214285714287 \]
\[ 2003055 \div 504 \approx 3973.3234126984128 \]
\[ 2003056 \div 504 \approx 3973.325396825397 \]
\[ 2003057 \div 504 \approx 3973.327380952381 \]
\[ 2003058 \div 504 \approx 3973.329365079365 \]
\[ 2003059 \div 504 \approx 3973.3313492063493 \]
\[ 2003060 \div 504 \approx 3973.3333333333335 \]

Số 2003060 chia hết cho 504, do đó số tự nhiên nhỏ nhất có bốn chữ số đầu tiên là 2003 và đồng thời chia hết cho 18, 24 và 42 là 2003060.