Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Để tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức, ta cần phân tích từng biểu thức một.

a) \( A = \left| \frac{2}{3} + \frac{3}{4} - x \right| \)

Biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối đạt giá trị nhỏ nhất khi \( \frac{2}{3} + \frac{3}{4} - x = 0 \).
Giải phương trình:
\[ \frac{2}{3} + \frac{3}{4} = x \]
\[ x = \frac{8}{12} + \frac{9}{12} = \frac{17}{12} \]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( A \) là 0 khi \( x = \frac{17}{12} \).

b) \( B = \left| x + \frac{5}{6} - \frac{21}{10} \right| \)

Biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối đạt giá trị nhỏ nhất khi \( x + \frac{5}{6} - \frac{21}{10} = 0 \).
Giải phương trình:
\[ x = \frac{21}{10} - \frac{5}{6} \]
\[ x = \frac{63}{30} - \frac{25}{30} = \frac{38}{30} = \frac{19}{15} \]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( B \) là 0 khi \( x = \frac{19}{15} \).

c) \( C = \left| \frac{11}{12} + \frac{9}{10} - x \right| \)

Biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối đạt giá trị nhỏ nhất khi \( \frac{11}{12} + \frac{9}{10} - x = 0 \).
Giải phương trình:
\[ x = \frac{11}{12} + \frac{9}{10} \]
\[ x = \frac{55}{60} + \frac{54}{60} = \frac{109}{60} \]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( C \) là 0 khi \( x = \frac{109}{60} \).

d) \( D = \left| 3x + \frac{9}{10} - \frac{73}{79} \right| \)

Biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối đạt giá trị nhỏ nhất khi \( 3x + \frac{9}{10} - \frac{73}{79} = 0 \).
Giải phương trình:
\[ 3x = \frac{73}{79} - \frac{9}{10} \]
\[ 3x = \frac{730}{790} - \frac{711}{790} = \frac{19}{790} \]
\[ x = \frac{19}{2370} \]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( D \) là 0 khi \( x = \frac{19}{2370} \).

e) \( E = \left| 4x - 3 \right| + \left| 5y + \frac{15}{16} \right| + \frac{21}{10} \)

Để giá trị của \( E \) nhỏ nhất, các giá trị trong dấu giá trị tuyệt đối phải bằng 0.
\[ 4x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{4} \]
\[ 5y + \frac{15}{16} = 0 \Rightarrow y = -\frac{3}{16} \]

Khi đó:
\[ E = 0 + 0 + \frac{21}{10} = \frac{21}{10} \]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( E \) là \( \frac{21}{10} \) khi \( x = \frac{3}{4} \) và \( y = -\frac{3}{16} \).