Để tìm số tự nhiên \( x \) thỏa mãn các điều kiện sau:
- Khi chia cho 3 dư 2
- Khi chia cho 5 dư 3
- Khi chia cho 7 dư 4

Chúng ta có thể biểu diễn các điều kiện này dưới dạng các phương trình đồng dư:
1. \( x \equiv 2 \pmod{3} \)
2. \( x \equiv 3 \pmod{5} \)
3. \( x \equiv 4 \pmod{7} \)

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đồng dư để giải hệ phương trình này. Đầu tiên, chúng ta kết hợp hai phương trình đầu tiên:

Từ \( x \equiv 2 \pmod{3} \), ta có thể viết \( x = 3k + 2 \) với \( k \) là số nguyên.

Thay vào phương trình thứ hai:
\[ 3k + 2 \equiv 3 \pmod{5} \]
\[ 3k \equiv 1 \pmod{5} \]

Để giải phương trình này, chúng ta cần tìm số nghịch đảo của 3 modulo 5. Số nghịch đảo của 3 modulo 5 là số \( y \) sao cho \( 3y \equiv 1 \pmod{5} \). Thử các giá trị của \( y \):
\[ 3 \times 2 = 6 \equiv 1 \pmod{5} \]

Vậy số nghịch đảo của 3 modulo 5 là 2. Do đó,
\[ k \equiv 2 \pmod{5} \]
\[ k = 5m + 2 \] với \( m \) là số nguyên.

Thay vào \( x = 3k + 2 \):
\[ x = 3(5m + 2) + 2 = 15m + 6 + 2 = 15m + 8 \]
\[ x \equiv 8 \pmod{15} \]

Bây giờ, chúng ta kết hợp với phương trình thứ ba:
\[ x \equiv 8 \pmod{15} \]
\[ x \equiv 4 \pmod{7} \]

Ta có thể viết \( x = 15n + 8 \) với \( n \) là số nguyên.

Thay vào phương trình thứ ba:
\[ 15n + 8 \equiv 4 \pmod{7} \]
\[ 15n \equiv -4 \pmod{7} \]
\[ 15n \equiv 3 \pmod{7} \]
\[ n \equiv 3 \times 15^{-1} \pmod{7} \]

Số nghịch đảo của 15 modulo 7 là số \( y \) sao cho \( 15y \equiv 1 \pmod{7} \). Vì \( 15 \equiv 1 \pmod{7} \), nên số nghịch đảo của 15 modulo 7 là 1. Do đó,
\[ n \equiv 3 \pmod{7} \]
\[ n = 7p + 3 \] với \( p \) là số nguyên.

Thay vào \( x = 15n + 8 \):
\[ x = 15(7p + 3) + 8 = 105p + 45 + 8 = 105p + 53 \]
\[ x \equiv 53 \pmod{105} \]

Vậy \( x = 105p + 53 \).

Để tìm số tự nhiên khác 0 nhỏ nhất có ba chữ số, ta chọn \( p = 1 \):
\[ x = 105 \times 1 + 53 = 158 \]

Để tìm số tự nhiên khác 0 lớn nhất có ba chữ số, ta chọn \( p \) sao cho \( x \leq 999 \):
\[ 105p + 53 \leq 999 \]
\[ 105p \leq 946 \]
\[ p \leq \frac{946}{105} \approx 9 \]

Chọn \( p = 9 \):
\[ x = 105 \times 9 + 53 = 945 + 53 = 998 \]

Vậy số tự nhiên khác 0 nhỏ nhất là 158 và số tự nhiên khác 0 lớn nhất là 998.