Chào bạn! Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác và định lý sin. Dưới đây là các bước chi tiết để giải bài toán:

### a) Tính độ dài cạnh AC

Đầu tiên, chúng ta cần tính góc A. Vì tổng các góc trong tam giác bằng 180 độ, ta có:
\[ \angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ \]

Sử dụng định lý sin:
\[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \]

Thay các giá trị vào:
\[ \frac{5}{\sin 45^\circ} = \frac{AC}{\sin 60^\circ} \]

Ta biết rằng:
\[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Thay vào phương trình:
\[ \frac{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]

Giải phương trình này:
\[ \frac{5 \times 2}{\sqrt{2}} = \frac{AC \times 2}{\sqrt{3}} \]
\[ \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{2AC}{\sqrt{3}} \]
\[ \frac{10 \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} = AC \]
\[ AC = \frac{10 \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{10 \sqrt{6}}{4} = \frac{5 \sqrt{6}}{2} \]

Vậy độ dài cạnh AC là:
\[ AC = \frac{5 \sqrt{6}}{2} \]

### b) Tính diện tích tam giác ABC

Diện tích tam giác ABC có thể tính bằng công thức:
\[ S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A \]

Thay các giá trị vào:
\[ S = \frac{1}{2} \times 5 \times \frac{5 \sqrt{6}}{2} \times \sin 75^\circ \]

Ta biết rằng:
\[ \sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ \]
\[ \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]

Thay vào công thức diện tích:
\[ S = \frac{1}{2} \times 5 \times \frac{5 \sqrt{6}}{2} \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]
\[ S = \frac{25 \sqrt{6}}{4} \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]
\[ S = \frac{25 \sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} \]
\[ S = \frac{25 (6 + \sqrt{12})}{16} \]
\[ S = \frac{25 (6 + 2\sqrt{3})}{16} \]
\[ S = \frac{150 + 50\sqrt{3}}{16} \]
\[ S = \frac{75 + 25\sqrt{3}}{8} \]

Vậy diện tích tam giác ABC là:
\[ S = \frac{75 + 25\sqrt{3}}{8} \]

### c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp (R) và nội tiếp (r)

Bán kính đường tròn ngoại tiếp (R) được tính bằng công thức:
\[ R = \frac{a}{2 \sin A} \]

Trong đó \( a = BC \). Sử dụng định lý sin để tính BC:
\[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} \]
\[ \frac{BC}{\sin 75^\circ} = \frac{5}{\sin 45^\circ} \]
\[ BC = \frac{5 \sin 75^\circ}{\sin 45^\circ} \]
\[ BC = \frac{5 \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]
\[ BC = \frac{5 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}} \]
\[ BC = \frac{5 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \]
\[ BC = \frac{5 (\sqrt{12} + 2)}{4} \]
\[ BC = \frac{5 (2\sqrt{3} + 2)}{4} \]
\[ BC = \frac{10\sqrt{3} + 10}{4} \]
\[ BC = \frac{5\sqrt{3} + 5}{2} \]

Vậy:
\[ R = \frac{BC}{2 \sin A} = \frac{\frac{5\sqrt{3} + 5}{2}}{2 \sin 75^\circ} \]
\[ R = \frac{5\sqrt{3} + 5}{4 \sin 75^\circ} \]
\[ R = \frac{5\sqrt{3} + 5}{4 \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} \]
\[ R = \frac{5\sqrt{3} + 5}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \]

Bán kính đường tròn nội tiếp (r) được tính bằng công thức:
\[ r = \frac{S}{p} \]

Trong đó \( p \) là nửa chu vi tam giác:
\[ p = \frac{AB + BC + AC}{2} \]
\[ p = \frac{5 + \frac{5\sqrt{3} + 5}{2} + \frac{5\sqrt{6}}{2}}{2} \]
\[ p = \frac{10 + 5\sqrt{3} + 5\sqrt{6}}{4} \]

Vậy:
\[ r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{75 + 25\sqrt{3}}{8}}{\frac{10 + 5\sqrt{3} + 5\sqrt{6}}{4}} \]
\[ r = \frac{75 + 25\sqrt{3}}{8} \times \frac{4}{10 + 5\sqrt{3} + 5\sqrt{6}} \]
\[ r = \frac{75 + 25\sqrt{3}}{2 (10 + 5\sqrt{3} + 5\sqrt{6})} \]

### Cách bấm máy tính với định lý sin

Để bấm máy tính với định lý sin, bạn cần đảm bảo rằng máy tính của bạn đang ở chế độ độ (degree mode). Sau đó, bạn có thể nhập các giá trị sin và các phép tính như sau:

1. Nhập giá trị của góc và bấm phím sin (ví dụ: sin 45 độ).
2. Nhập các phép tính phân số và nhân chia theo đúng thứ tự.

Ví dụ:
\[ \frac{5}{\sin 45^\circ} \]

Trên máy tính Casio:
- Nhập 5 ÷ sin 45 =

Hy vọng các bước trên sẽ giúp bạn giải quyết bài toán. Nếu bạn có thêm câu hỏi, đừng ngần ngại hỏi!