Để chứng minh rằng với mọi \( x \), các biểu thức \( C = -x^2 + 6x - 1 \) và \( D = 2x - x^2 - 5 \) đều có giá trị âm, ta cần phân tích từng biểu thức một.

### Biểu thức \( C = -x^2 + 6x - 1 \)

Đây là một hàm bậc hai có dạng \( C(x) = ax^2 + bx + c \) với \( a = -1 \), \( b = 6 \), và \( c = -1 \). Để xác định giá trị của biểu thức này, ta có thể tìm đỉnh của parabol và xem xét giá trị của nó.

Đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) được xác định bởi \( x = -\frac{b}{2a} \).

Với \( a = -1 \) và \( b = 6 \):
\[ x = -\frac{6}{2(-1)} = 3 \]

Giá trị của \( C \) tại \( x = 3 \) là:
\[ C(3) = -(3)^2 + 6(3) - 1 = -9 + 18 - 1 = 8 \]

Tuy nhiên, ta cần kiểm tra xem biểu thức này có giá trị âm với mọi \( x \) hay không. Ta có thể viết lại biểu thức dưới dạng hoàn chỉnh bình phương:

\[ C = -x^2 + 6x - 1 = -(x^2 - 6x) - 1 \]
\[ = -(x^2 - 6x + 9 - 9) - 1 \]
\[ = -(x - 3)^2 + 9 - 1 \]
\[ = -(x - 3)^2 + 8 \]

Vì \( -(x - 3)^2 \) luôn luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 và giá trị lớn nhất của \( -(x - 3)^2 \) là 0 khi \( x = 3 \), nên \( C \) đạt giá trị lớn nhất là 8. Tuy nhiên, \( C \) không luôn luôn âm vì nó có thể đạt giá trị dương (ví dụ, khi \( x = 3 \)).

### Biểu thức \( D = 2x - x^2 - 5 \)

Đây cũng là một hàm bậc hai có dạng \( D(x) = ax^2 + bx + c \) với \( a = -1 \), \( b = 2 \), và \( c = -5 \). Ta cũng tìm đỉnh của parabol này.

Đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) được xác định bởi \( x = -\frac{b}{2a} \).

Với \( a = -1 \) và \( b = 2 \):
\[ x = -\frac{2}{2(-1)} = 1 \]

Giá trị của \( D \) tại \( x = 1 \) là:
\[ D(1) = 2(1) - (1)^2 - 5 = 2 - 1 - 5 = -4 \]

Ta có thể viết lại biểu thức dưới dạng hoàn chỉnh bình phương:

\[ D = 2x - x^2 - 5 = -(x^2 - 2x) - 5 \]
\[ = -(x^2 - 2x + 1 - 1) - 5 \]
\[ = -(x - 1)^2 + 1 - 5 \]
\[ = -(x - 1)^2 - 4 \]

Vì \( -(x - 1)^2 \) luôn luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 và giá trị lớn nhất của \( -(x - 1)^2 \) là 0 khi \( x = 1 \), nên \( D \) luôn luôn nhỏ hơn hoặc bằng -4. Do đó, \( D \) luôn luôn âm với mọi \( x \).

### Kết luận

- Biểu thức \( C = -x^2 + 6x - 1 \) không luôn luôn có giá trị âm với mọi \( x \) vì nó có thể đạt giá trị dương.
- Biểu thức \( D = 2x - x^2 - 5 \) luôn luôn có giá trị âm với mọi \( x \).