Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ lần lượt thực hiện các bước sau:

**a. Chứng minh tam giác BDF = tam giác EDC:**

1. Xét tam giác ABD và tam giác ACD:
- AD là tia phân giác của góc BAC, do đó:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]
- Do AE = AB và AF = AC, ta có:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AE}{AF}
\]

2. Xét tam giác BDF và tam giác EDC:
- Ta có:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AE}{AF}
\]
- Góc BDF và góc EDC là các góc đối đỉnh, do đó:
\[
\angle BDF = \angle EDC
\]

3. Xét tam giác BDF và tam giác EDC:
- BD = AE và DC = AF (do AE = AB và AF = AC)
- Góc BDF = góc EDC (góc đối đỉnh)

Vậy tam giác BDF = tam giác EDC (cạnh-góc-cạnh).

**b. Chứng minh F, D, E thẳng hàng:**

1. Từ tam giác BDF = tam giác EDC, ta có:
\[
\angle BFD = \angle EDC
\]
và
\[
\angle BDF = \angle EDC
\]

2. Do đó, các điểm F, D, E thẳng hàng vì góc BFD và góc EDC là các góc đối đỉnh.

**c. Chứng minh AD vuông góc với FC:**

1. Xét tam giác ADF và tam giác ADC:
- AD là tia phân giác của góc BAC, do đó:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]
- Do AE = AB và AF = AC, ta có:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AE}{AF}
\]

2. Xét tam giác ADF và tam giác ADC:
- Ta có:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AE}{AF}
\]
- Góc BDF và góc EDC là các góc đối đỉnh, do đó:
\[
\angle BDF = \angle EDC
\]

3. Xét tam giác ADF và tam giác ADC:
- AD là tia phân giác của góc BAC, do đó:
\[
\angle BAD = \angle CAD
\]

4. Do đó, AD vuông góc với FC vì góc BAD và góc CAD là các góc đối đỉnh.

Vậy ta đã chứng minh được các phần của bài toán.