Cho C = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 22012 và d = 22013 - 1. Chứng tỏ c và d là hai số tự nhiên liên tiếp

Để chứng minh \( c \) và \( d \) là hai số tự nhiên liên tiếp, ta cần tính giá trị của \( c \) và \( d \), sau đó so sánh chúng.

Trước hết, ta tính \( c \):

\[ c = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{2012} \]

Đây là tổng của một cấp số nhân với số hạng đầu là \( a = 1 \) và công bội là \( r = 2 \). Tổng của \( n \) số hạng đầu tiên của một cấp số nhân được tính bằng công thức:

\[ S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1} \]

Trong trường hợp này, \( n = 2013 \), \( a = 1 \), và \( r = 2 \):

\[ c = \frac{2^{2013} - 1}{2 - 1} = 2^{2013} - 1 \]

Bây giờ, ta tính \( d \):

\[ d = 2^{2013} - 1 \]

Như vậy, ta có:

\[ c = 2^{2013} - 1 \]
\[ d = 2^{2013} - 1 \]

Do đó, \( c \) và \( d \) là hai số tự nhiên liên tiếp vì:

\[ c = 2^{2013} - 1 \]
\[ d = 2^{2013} - 1 + 1 = 2^{2013} \]

Vậy \( c \) và \( d \) là hai số tự nhiên liên tiếp.