Tìm a để E có nghĩa. Rút gọn E. Tìm giá trị của a để E bằng -1

Để giải quyết các yêu cầu liên quan đến biểu thức \( E \), ta cần thực hiện các bước sau:

### 1. Tìm \( a \) để \( E \) có nghĩa
Biểu thức \( E \) có nghĩa khi tất cả các thành phần trong biểu thức đều có nghĩa. Cụ thể:
- \( \sqrt{a+1} \) có nghĩa khi \( a+1 \geq 0 \) hay \( a \geq -1 \).
- \( \sqrt{a-1} \) có nghĩa khi \( a-1 \geq 0 \) hay \( a \geq 1 \).
- \( \sqrt{a} \) có nghĩa khi \( a \geq 0 \).
- Các mẫu số không được bằng 0: \( \sqrt{a-1} \neq 0 \) và \( a-1 \neq 0 \) hay \( a \neq 1 \).

Kết hợp các điều kiện trên, ta có \( a \geq 1 \) và \( a \neq 1 \). Vậy \( a > 1 \).

### 2. Rút gọn \( E \)
Biểu thức \( E \) là:
\[ E = \left( \frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{a-1}} - \frac{\sqrt{a-1}}{\sqrt{a+1}} - \frac{8\sqrt{a}}{a-1} \right) : \left( \frac{\sqrt{a} - a - 3}{a-1} - \frac{1}{\sqrt{a-1}} \right) \]

Rút gọn từng phần của biểu thức:
\[ \frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{a-1}} - \frac{\sqrt{a-1}}{\sqrt{a+1}} = \frac{a+1 - (a-1)}{\sqrt{(a+1)(a-1)}} = \frac{2}{\sqrt{a^2-1}} \]

\[ \frac{8\sqrt{a}}{a-1} \]

\[ \frac{\sqrt{a} - a - 3}{a-1} - \frac{1}{\sqrt{a-1}} \]

### 3. Tìm giá trị của \( a \) để \( E = -1 \)
Để tìm giá trị của \( a \) để \( E = -1 \), ta cần giải phương trình:
\[ E = -1 \]

### 4. Tìm giá trị của \( a \) để \( E \) dương
Để \( E \) dương, ta cần giải bất phương trình:
\[ E > 0 \]

### 5. Tìm giá trị của \( a \) để \( E \) nhỏ hơn \( \sqrt{a} + 3 \)
Để \( E \) nhỏ hơn \( \sqrt{a} + 3 \), ta cần giải bất phương trình:
\[ E < \sqrt{a} + 3 \]

### 7. Tìm giá trị của \( a \) để \( E \) nhỏ nhất
Để tìm giá trị của \( a \) để \( E \) nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị cực tiểu của hàm số \( E \).

### 8. So sánh \( E \) với 1
Để so sánh \( E \) với 1, ta cần giải bất phương trình:
\[ E > 1 \] hoặc \( E < 1 \)

Do biểu thức phức tạp, việc rút gọn và giải các phương trình, bất phương trình có thể cần thêm các bước chi tiết hơn hoặc sử dụng công cụ tính toán hỗ trợ.