**Bài 4: Tính giá trị các biểu thức sau một cách hợp lý**

a) \( A = 253 + 94 \cdot 253 + 472 \)

Ta có thể nhóm các số hạng lại để tính dễ dàng hơn:
\[ A = 253(1 + 94) + 472 \]
\[ A = 253 \cdot 95 + 472 \]
\[ A = 24035 + 472 \]
\[ A = 24507 \]

b) \( B = 136^2 - 92 \cdot 136 + 46^2 \)

Ta có thể sử dụng hằng đẳng thức:
\[ B = (136 - 46)^2 \]
\[ B = 90^2 \]
\[ B = 8100 \]

**Bài 5: Tính giá trị các biểu thức sau một cách hợp lý**

a) \( C = \frac{356^2 - 144^2}{256^2 - 244^2} \)

Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương:
\[ C = \frac{(356 - 144)(356 + 144)}{(256 - 244)(256 + 244)} \]
\[ C = \frac{212 \cdot 500}{12 \cdot 500} \]
\[ C = \frac{212}{12} \]
\[ C = \frac{53}{3} \]

b) \( D = (100^2 + 98^2 + ... + 2^2) - (99^2 + 97^2 + ... + 1^2) \)

Nhóm các số hạng lại:
\[ D = (100^2 - 99^2) + (98^2 - 97^2) + ... + (2^2 - 1^2) \]

Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương:
\[ D = (100 + 99)(100 - 99) + (98 + 97)(98 - 97) + ... + (2 + 1)(2 - 1) \]
\[ D = 199 + 195 + ... + 3 \]

Dãy số này là một cấp số cộng với công sai là 4:
\[ D = \sum_{k=1}^{50} (4k - 1) \]
\[ D = 4 \sum_{k=1}^{50} k - \sum_{k=1}^{50} 1 \]
\[ D = 4 \cdot \frac{50 \cdot 51}{2} - 50 \]
\[ D = 4 \cdot 1275 - 50 \]
\[ D = 5100 - 50 \]
\[ D = 5050 \]

**Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức**

**Bài 1: Chứng minh rằng biểu thức luôn nhận giá trị dương**

a) \( P = x^2 - 6x + 10 \)

Hoàn thành bình phương:
\[ P = (x - 3)^2 + 1 \]
Vì \( (x - 3)^2 \geq 0 \) với mọi \( x \), nên \( P \geq 1 \). Do đó, \( P \) luôn nhận giá trị dương.

b) \( D = x^2 + 2x + 2 \)

Hoàn thành bình phương:
\[ D = (x + 1)^2 + 1 \]
Vì \( (x + 1)^2 \geq 0 \) với mọi \( x \), nên \( D \geq 1 \). Do đó, \( D \) luôn nhận giá trị dương.

**Bài 2: Chứng minh rằng biểu thức luôn nhận giá trị dương**

a) \( B = x^2 - 2xy + 2y^2 + 4y + 10 \)

Hoàn thành bình phương:
\[ B = (x - y)^2 + 2y^2 + 4y + 10 \]
\[ B = (x - y)^2 + 2(y^2 + 2y + 2) + 6 \]
\[ B = (x - y)^2 + 2(y + 1)^2 + 6 \]
Vì \( (x - y)^2 \geq 0 \) và \( (y + 1)^2 \geq 0 \) với mọi \( x, y \), nên \( B \geq 6 \). Do đó, \( B \) luôn nhận giá trị dương.

b) \( M = 4x^2 + y^2 - 4x + 2y + 2023 \)

Hoàn thành bình phương:
\[ M = 4(x^2 - x) + (y^2 + 2y) + 2023 \]
\[ M = 4(x - \frac{1}{2})^2 - 1 + (y + 1)^2 - 1 + 2023 \]
\[ M = 4(x - \frac{1}{2})^2 + (y + 1)^2 + 2021 \]
Vì \( 4(x - \frac{1}{2})^2 \geq 0 \) và \( (y + 1)^2 \geq 0 \) với mọi \( x, y \), nên \( M \geq 2021 \). Do đó, \( M \) luôn nhận giá trị dương.

**Bài 3: Chứng minh rằng biểu thức luôn nhận giá trị âm**

a) \( Q = 6x - x^2 - 10 \)

Hoàn thành bình phương:
\[ Q = - (x^2 - 6x + 10) \]
\[ Q = - ((x - 3)^2 - 9 + 10) \]
\[ Q = - (x - 3)^2 + 1 \]
Vì \( (x - 3)^2 \geq 0 \) với mọi \( x \), nên \( Q \leq 1 \). Do đó, \( Q \) luôn nhận giá trị âm.

b) \( D = -x^2 + 4x - 15 \)

Hoàn thành bình phương:
\[ D = - (x^2 - 4x + 15) \]
\[ D = - ((x - 2)^2 - 4 + 15) \]
\[ D = - (x - 2)^2 - 11 \]
Vì \( (x - 2)^2 \geq 0 \) với mọi \( x \), nên \( D \leq -11 \). Do đó, \( D \) luôn nhận giá trị âm.

**Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau**

a) \( M = x^2 - 3x + 10 \)

Hoàn thành bình phương:
\[ M = (x - \frac{3}{2})^2 + \frac{31}{4} \]
Giá trị nhỏ nhất của \( M \) là \( \frac{31}{4} \) khi \( x = \frac{3}{2} \).

b) \( N = 2x^2 + 5y^2 + 4xy + 8x - 4y - 100 \)

Sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất:
\[ \frac{\partial N}{\partial x} = 4x + 4y + 8 = 0 \]
\[ \frac{\partial N}{\partial y} = 10y + 4x - 4 = 0 \]

Giải hệ phương trình:
\[ 4x + 4y + 8 = 0 \]
\[ 10y + 4x - 4 = 0 \]

Từ phương trình thứ nhất:
\[ x + y = -2 \]
\[ y = -2 - x \]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[ 10(-2 - x) + 4x - 4 = 0 \]
\[ -20 - 10x + 4x - 4 = 0 \]
\[ -6x = 24 \]
\[ x = -4 \]
\[ y = 2 \]

Thay \( x = -4 \) và \( y = 2 \) vào \( N \):
\[ N = 2(-4)^2 + 5(2)^2 + 4(-4)(2) + 8(-4) - 4(2) - 100 \]
\[ N = 2(16) + 5(4) + 4(-8) + 8(-4) - 8 - 100 \]
\[ N = 32 + 20 - 32 - 32 - 8 - 100 \]
\[ N = -120 \]

Giá trị nhỏ nhất của \( N \) là \( -120 \).

**Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức**

a) \( A = 10x - x^2 - 2 \)

Hoàn thành bình phương:
\[ A = - (x^2 - 10x + 2) \]
\[ A = - ((x - 5)^2 - 25 + 2) \]
\[ A = - (x - 5)^2 + 27 \]
Giá trị lớn nhất của \( A \) là \( 27 \) khi \( x = 5 \).

b) \( B = 2x - 2x^2 \)

Hoàn thành bình phương:
\[ B = -2(x^2 - x) \]
\[ B = -2((x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) \]
\[ B = -2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} \]
Giá trị lớn nhất của \( B \) là \( \frac{1}{2} \) khi \( x = \frac{1}{2} \).