Để giải bài tập này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.

### Bài 1:
Cho góc \( aOb \) có số đo bằng \( 50^\circ \). Trên cùng nửa mặt phẳng bờ \( Ob \) chứa tia \( Oa \), vẽ tia \( Om \) vuông góc với \( Ob \). Trên nửa mặt phẳng còn lại vẽ tia \( On \) vuông góc với \( Oa \).

#### a) Chứng minh hai góc \( aOm \) và \( bOn \) bằng nhau.

- Vì \( Om \) vuông góc với \( Ob \), nên góc \( aOm \) là góc vuông, tức là \( \angle aOm = 90^\circ \).
- Vì \( On \) vuông góc với \( Oa \), nên góc \( bOn \) là góc vuông, tức là \( \angle bOn = 90^\circ \).

Do đó, \( \angle aOm = \angle bOn = 90^\circ \).

#### b) Vẽ \( Om' \) là tia đối của tia \( Om \). Tính số đo góc \( m'On \).

- Tia \( Om' \) là tia đối của tia \( Om \), nên \( Om' \) và \( Om \) tạo thành một đường thẳng.
- Vì \( Om \) vuông góc với \( Ob \), nên \( Om' \) cũng vuông góc với \( Ob \).
- Góc \( m'On \) là góc giữa tia \( Om' \) và tia \( On \).

Ta có:
\[ \angle m'On = \angle m'Oa + \angle aOn \]

- \( \angle m'Oa = 180^\circ - \angle aOm = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \)
- \( \angle aOn = 90^\circ \)

Do đó:
\[ \angle m'On = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \]

### Bài 2:
Cho hai đường thẳng \( AB \) và \( CD \) cắt nhau tại \( O \). Vẽ tia phân giác \( Om \) của \( \angle BOC \). Gọi \( On \) là tia đối của tia \( Om \).

#### a) Chứng minh tia \( On \) là phân giác của \( \angle AOD \).

- Vì \( Om \) là phân giác của \( \angle BOC \), nên \( \angle BOm = \angle COm \).
- Tia \( On \) là tia đối của tia \( Om \), nên \( \angle AOn = \angle DOm \).

Do đó, \( On \) là phân giác của \( \angle AOD \).

#### b) Gọi \( Op \) là phân giác của \( \angle BOD \). Chứng minh \( Op \perp On \).

- Vì \( Om \) là phân giác của \( \angle BOC \), nên \( \angle BOm = \angle COm \).
- Vì \( Op \) là phân giác của \( \angle BOD \), nên \( \angle BOp = \angle DOp \).

Do đó, \( \angle BOm + \angle BOp = \angle COm + \angle DOp = 90^\circ \).

Vì vậy, \( Op \perp On \).

### Bài 3:
Cho góc \( xOy \). Từ điểm \( A \) nằm trong góc đó kẻ \( AH \) vuông góc với \( Ox \) (H thuộc \( Ox \)) và \( AK \) vuông góc với \( Oy \) (K thuộc \( Oy \)). Trên tia đối của tia \( HA \) lấy điểm \( B \) sao cho \( HB = HA \). Trên tia đối của tia \( KA \) lấy điểm \( C \) sao cho \( KC = KA \). Chứng minh \( OB = OC \).

- Vì \( HB = HA \) và \( KC = KA \), nên \( \triangle HBA \) và \( \triangle KAC \) là các tam giác vuông cân tại \( H \) và \( K \).

- Do đó, \( OB \) và \( OC \) là các đoạn thẳng bằng nhau.

Vậy \( OB = OC \).