Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt giải từng phần a và b.

### Phần a:
Tìm số nguyên \( x \) để \( x - 13 \) là bội của \( x + 2 \).

Điều này có nghĩa là tồn tại một số nguyên \( k \) sao cho:
\[ x - 13 = k(x + 2) \]

Ta giải phương trình này:
\[ x - 13 = kx + 2k \]
\[ x - kx = 2k + 13 \]
\[ x(1 - k) = 2k + 13 \]

Để \( x \) là số nguyên, \( 1 - k \) phải là ước của \( 2k + 13 \).

Xét các giá trị của \( k \):
1. Nếu \( k = 1 \):
\[ x(1 - 1) = 2(1) + 13 \]
\[ 0 = 15 \] (vô lý)

2. Nếu \( k = 2 \):
\[ x(1 - 2) = 2(2) + 13 \]
\[ -x = 4 + 13 \]
\[ -x = 17 \]
\[ x = -17 \]

3. Nếu \( k = 3 \):
\[ x(1 - 3) = 2(3) + 13 \]
\[ -2x = 6 + 13 \]
\[ -2x = 19 \]
\[ x = -\frac{19}{2} \] (không phải số nguyên)

4. Nếu \( k = -1 \):
\[ x(1 - (-1)) = 2(-1) + 13 \]
\[ x(1 + 1) = -2 + 13 \]
\[ 2x = 11 \]
\[ x = \frac{11}{2} \] (không phải số nguyên)

5. Nếu \( k = -2 \):
\[ x(1 - (-2)) = 2(-2) + 13 \]
\[ x(1 + 2) = -4 + 13 \]
\[ 3x = 9 \]
\[ x = 3 \]

Vậy các giá trị nguyên của \( x \) là \( x = -17 \) và \( x = 3 \).

### Phần b:
Tìm số nguyên \( x \) để \( x + 1 \) là ước của \( 4x + 11 \).

Điều này có nghĩa là tồn tại một số nguyên \( k \) sao cho:
\[ 4x + 11 = k(x + 1) \]

Ta giải phương trình này:
\[ 4x + 11 = kx + k \]
\[ 4x - kx = k - 11 \]
\[ x(4 - k) = k - 11 \]

Để \( x \) là số nguyên, \( 4 - k \) phải là ước của \( k - 11 \).

Xét các giá trị của \( k \):
1. Nếu \( k = 5 \):
\[ x(4 - 5) = 5 - 11 \]
\[ -x = -6 \]
\[ x = 6 \]

2. Nếu \( k = 3 \):
\[ x(4 - 3) = 3 - 11 \]
\[ x = -8 \]

3. Nếu \( k = 2 \):
\[ x(4 - 2) = 2 - 11 \]
\[ 2x = -9 \]
\[ x = -\frac{9}{2} \] (không phải số nguyên)

4. Nếu \( k = 6 \):
\[ x(4 - 6) = 6 - 11 \]
\[ -2x = -5 \]
\[ x = \frac{5}{2} \] (không phải số nguyên)

Vậy các giá trị nguyên của \( x \) là \( x = 6 \) và \( x = -8 \).

Tóm lại:
- Phần a: \( x = -17 \) và \( x = 3 \).
- Phần b: \( x = 6 \) và \( x = -8 \).