Để giải bài toán này, ta cần thiết lập các phương trình dựa trên các thông tin đã cho.

Gọi vận tốc của bác Tài là \( v_1 \) (km/h) và vận tốc của cô ba Ngân là \( v_2 \) (km/h).

### Lần gặp đầu tiên:
- Bác Tài đi được 1 giờ 30 phút, tức là 1.5 giờ.
- Cô ba Ngân đi được 2 giờ.

Khi gặp nhau, tổng quãng đường mà họ đã đi bằng khoảng cách từ thị xã đến làng, tức là 38 km.
Do đó, ta có phương trình:
\[ v_1 \times 1.5 + v_2 \times 2 = 38 \]

### Lần gặp thứ hai:
- Sau 1 giờ 15 phút, tức là 1.25 giờ, họ còn cách nhau 10.5 km.

Do đó, ta có phương trình:
\[ |v_1 \times 1.25 - v_2 \times 1.25| = 10.5 \]

Ta có hệ phương trình:
\[ 1.5v_1 + 2v_2 = 38 \]
\[ |1.25v_1 - 1.25v_2| = 10.5 \]

### Giải hệ phương trình:
1. Từ phương trình thứ hai, ta có:
\[ |v_1 - v_2| = \frac{10.5}{1.25} = 8.4 \]
Do đó, ta có hai trường hợp:
\[ v_1 - v_2 = 8.4 \quad \text{(1)} \]
hoặc
\[ v_2 - v_1 = 8.4 \quad \text{(2)} \]

2. Thay (1) vào phương trình đầu tiên:
\[ 1.5v_1 + 2v_2 = 38 \]
\[ 1.5(v_2 + 8.4) + 2v_2 = 38 \]
\[ 1.5v_2 + 12.6 + 2v_2 = 38 \]
\[ 3.5v_2 = 25.4 \]
\[ v_2 = \frac{25.4}{3.5} \approx 7.26 \, \text{km/h} \]

\[ v_1 = v_2 + 8.4 \]
\[ v_1 = 7.26 + 8.4 \approx 15.66 \, \text{km/h} \]

3. Thay (2) vào phương trình đầu tiên:
\[ 1.5v_1 + 2v_2 = 38 \]
\[ 1.5(v_1 + 8.4) + 2v_1 = 38 \]
\[ 1.5v_1 + 12.6 + 2v_1 = 38 \]
\[ 3.5v_1 = 25.4 \]
\[ v_1 = \frac{25.4}{3.5} \approx 7.26 \, \text{km/h} \]

\[ v_2 = v_1 + 8.4 \]
\[ v_2 = 7.26 + 8.4 \approx 15.66 \, \text{km/h} \]

Vậy vận tốc của bác Tài là khoảng 15.66 km/h và vận tốc của cô ba Ngân là khoảng 7.26 km/h.