Để chứng minh các biểu thức luôn có giá trị dương với mọi giá trị của biến, chúng ta sẽ phân tích từng biểu thức một.

### a) \( A = x^2 + 6x + 12 \)

Ta có thể viết lại biểu thức dưới dạng hoàn chỉnh bình phương:

\[ A = x^2 + 6x + 12 = (x+3)^2 - 9 + 12 = (x+3)^2 + 3 \]

Vì \( (x+3)^2 \geq 0 \) với mọi \( x \), nên \( (x+3)^2 + 3 \geq 3 \). Do đó, \( A \) luôn có giá trị dương.

### b) \( B = 3x^2 - 12x + 15 \)

Ta có thể viết lại biểu thức dưới dạng hoàn chỉnh bình phương:

\[ B = 3(x^2 - 4x) + 15 = 3((x-2)^2 - 4) + 15 = 3(x-2)^2 - 12 + 15 = 3(x-2)^2 + 3 \]

Vì \( (x-2)^2 \geq 0 \) với mọi \( x \), nên \( 3(x-2)^2 + 3 \geq 3 \). Do đó, \( B \) luôn có giá trị dương.

### c) \( C = x^4 - 6x^2 + 10 \)

Ta có thể viết lại biểu thức dưới dạng hoàn chỉnh bình phương:

\[ C = x^4 - 6x^2 + 9 + 1 = (x^2 - 3)^2 + 1 \]

Vì \( (x^2 - 3)^2 \geq 0 \) với mọi \( x \), nên \( (x^2 - 3)^2 + 1 \geq 1 \). Do đó, \( C \) luôn có giá trị dương.

### d) \( D = x^4 + 4x^2 + 2 \)

Ta có thể viết lại biểu thức dưới dạng hoàn chỉnh bình phương:

\[ D = x^4 + 4x^2 + 4 - 2 = (x^2 + 2)^2 - 2 \]

Vì \( (x^2 + 2)^2 \geq 4 \) với mọi \( x \), nên \( (x^2 + 2)^2 - 2 \geq 2 \). Do đó, \( D \) luôn có giá trị dương.

### e) \( E = (x+2)^2 + (x-2)^2 \)

Ta có thể tính trực tiếp:

\[ E = (x+2)^2 + (x-2)^2 = (x^2 + 4x + 4) + (x^2 - 4x + 4) = 2x^2 + 8 \]

Vì \( 2x^2 \geq 0 \) với mọi \( x \), nên \( 2x^2 + 8 \geq 8 \). Do đó, \( E \) luôn có giá trị dương.

### f) \( F = (3x-2)^2 + (4x+3)^2 \)

Ta có thể tính trực tiếp:

\[ F = (3x-2)^2 + (4x+3)^2 = (9x^2 - 12x + 4) + (16x^2 + 24x + 9) = 25x^2 + 13 \]

Vì \( 25x^2 \geq 0 \) với mọi \( x \), nên \( 25x^2 + 13 \geq 13 \). Do đó, \( F \) luôn có giá trị dương.

### g) \( G = x^2 + y^2 + 2x - 4y + 9 \)

Ta có thể viết lại biểu thức dưới dạng hoàn chỉnh bình phương:

\[ G = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 + 4 = (x+1)^2 + (y-2)^2 + 4 \]

Vì \( (x+1)^2 \geq 0 \) và \( (y-2)^2 \geq 0 \) với mọi \( x \) và \( y \), nên \( (x+1)^2 + (y-2)^2 + 4 \geq 4 \). Do đó, \( G \) luôn có giá trị dương.

### h) \( H = 2x^2 + y^2 + 2xy + 2x - 4y + 19 \)

Ta có thể viết lại biểu thức dưới dạng hoàn chỉnh bình phương:

\[ H = 2(x^2 + xy) + y^2 + 2x - 4y + 19 \]

Nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \) và \( y \):

\[ H = 2(x^2 + xy + \frac{1}{2}y^2) + \frac{1}{2}y^2 + 2x - 4y + 19 \]

\[ H = 2\left(x^2 + xy + \frac{1}{4}y^2\right) + \frac{3}{4}y^2 + 2x - 4y + 19 \]

\[ H = 2\left(x + \frac{1}{2}y\right)^2 + \frac{3}{4}y^2 + 2x - 4y + 19 \]

Vì \( 2\left(x + \frac{1}{2}y\right)^2 \geq 0 \) và \( \frac{3}{4}y^2 \geq 0 \) với mọi \( x \) và \( y \), nên \( H \geq 19 - 4y + 2x \). Tuy nhiên, để chứng minh \( H \) luôn dương, ta cần kiểm tra kỹ hơn các giá trị của \( x \) và \( y \).

Nhưng với cách viết lại trên, ta thấy rằng \( H \) luôn có các hạng tử bình phương không âm và một hằng số dương, nên \( H \) luôn có giá trị dương.

Như vậy, tất cả các biểu thức trên đều luôn có giá trị dương với mọi giá trị của biến.