Để tìm số tự nhiên có ba chữ số thỏa mãn các điều kiện đã cho, ta ký hiệu số đó là \( \overline{abc} \), trong đó \( a, b, c \) lần lượt là các chữ số hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị.

Theo đề bài, ta có hai điều kiện:

1. Bình phương chữ số hàng đơn vị \( c \) tạo thành một số có hai chữ số là \( \overline{ab} \).
2. Tích của số \( \overline{ab} \) với chữ số hàng đơn vị \( c \) tạo thành một số có hai chữ số là \( \overline{bc} \).

Bây giờ, ta sẽ giải từng điều kiện một.

### Điều kiện 1:
\[ c^2 = \overline{ab} \]
Điều này có nghĩa là \( c^2 = 10a + b \).

### Điều kiện 2:
\[ (10a + b) \cdot c = 10b + c \]

Bây giờ, ta sẽ thử các giá trị của \( c \) từ 1 đến 9 để tìm ra các giá trị phù hợp cho \( a \) và \( b \).

#### Thử \( c = 5 \):
1. \( c^2 = 25 \)
\[ 25 = 10a + b \]
\[ 10a + b = 25 \]

2. \( (10a + b) \cdot 5 = 10b + 5 \)
\[ 25 \cdot 5 = 10b + 5 \]
\[ 125 = 10b + 5 \]
\[ 120 = 10b \]
\[ b = 12 \]

Vì \( b \) phải là một chữ số (0-9), nên \( c = 5 \) không thỏa mãn.

#### Thử \( c = 6 \):
1. \( c^2 = 36 \)
\[ 36 = 10a + b \]
\[ 10a + b = 36 \]

2. \( (10a + b) \cdot 6 = 10b + 6 \)
\[ 36 \cdot 6 = 10b + 6 \]
\[ 216 = 10b + 6 \]
\[ 210 = 10b \]
\[ b = 21 \]

Vì \( b \) phải là một chữ số (0-9), nên \( c = 6 \) không thỏa mãn.

#### Thử \( c = 7 \):
1. \( c^2 = 49 \)
\[ 49 = 10a + b \]
\[ 10a + b = 49 \]

2. \( (10a + b) \cdot 7 = 10b + 7 \)
\[ 49 \cdot 7 = 10b + 7 \]
\[ 343 = 10b + 7 \]
\[ 336 = 10b \]
\[ b = 33.6 \]

Vì \( b \) phải là một chữ số (0-9), nên \( c = 7 \) không thỏa mãn.

#### Thử \( c = 8 \):
1. \( c^2 = 64 \)
\[ 64 = 10a + b \]
\[ 10a + b = 64 \]

2. \( (10a + b) \cdot 8 = 10b + 8 \)
\[ 64 \cdot 8 = 10b + 8 \]
\[ 512 = 10b + 8 \]
\[ 504 = 10b \]
\[ b = 50.4 \]

Vì \( b \) phải là một chữ số (0-9), nên \( c = 8 \) không thỏa mãn.

#### Thử \( c = 9 \):
1. \( c^2 = 81 \)
\[ 81 = 10a + b \]
\[ 10a + b = 81 \]

2. \( (10a + b) \cdot 9 = 10b + 9 \)
\[ 81 \cdot 9 = 10b + 9 \]
\[ 729 = 10b + 9 \]
\[ 720 = 10b \]
\[ b = 72 \]

Vì \( b \) phải là một chữ số (0-9), nên \( c = 9 \) không thỏa mãn.

Từ các thử nghiệm trên, ta thấy không có giá trị nào của \( c \) từ 1 đến 9 thỏa mãn cả hai điều kiện của đề bài. Do đó, không tồn tại số tự nhiên có ba chữ số nào thỏa mãn các điều kiện đã cho.