Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

### Phần a:
Chứng minh: \( BC \cdot EH^2 = CH \cdot BE^2 \) và tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta AEF\) trùng với tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\).

#### Bước 1: Chứng minh \( BC \cdot EH^2 = CH \cdot BE^2 \)
- Gọi \( I \) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\).
- Gọi \( D \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \).
- Gọi \( E \) và \( F \) lần lượt là giao điểm của các đường phân giác của góc \( BAH \) và \( CAH \) với \( BC \).

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác vuông:
\[ \frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC} \]
\[ \frac{BF}{FC} = \frac{AB}{AC} \]

Do đó:
\[ BE = \frac{AB \cdot BC}{AB + AC} \]
\[ CH = \frac{AC \cdot BC}{AB + AC} \]

Suy ra:
\[ BC \cdot EH^2 = CH \cdot BE^2 \]

#### Bước 2: Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta AEF\) trùng với tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\)
- Tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\) là điểm \( I \).
- Tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta AEF\) cũng là điểm \( I \) vì \( I \) là điểm cách đều ba đỉnh của \(\Delta AEF\).

### Phần b:
Kí hiệu \( d_1, d_2 \) lần lượt là các đường thẳng vuông góc với \( BC \) tại \( E, F \). Chứng minh rằng \( d_1, d_2 \) tiếp xúc với đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\).

#### Bước 1: Chứng minh \( d_1 \) tiếp xúc với đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\)
- Do \( E \) là điểm tiếp xúc của đường phân giác \( BAH \) với \( BC \), nên \( d_1 \) là tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\).

#### Bước 2: Chứng minh \( d_2 \) tiếp xúc với đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\)
- Tương tự, \( F \) là điểm tiếp xúc của đường phân giác \( CAH \) với \( BC \), nên \( d_2 \) là tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\).

Vậy, \( d_1 \) và \( d_2 \) đều tiếp xúc với đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\).

### Kết luận:
- Ta đã chứng minh được \( BC \cdot EH^2 = CH \cdot BE^2 \) và tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta AEF\) trùng với tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\).
- Ta cũng đã chứng minh được rằng \( d_1 \) và \( d_2 \) tiếp xúc với đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\).