Để xác định xem có tồn tại số nguyên \( n \) nào thỏa mãn \( n^2 + n + 2 \) chia hết cho 5 hay không, ta cần kiểm tra các giá trị của \( n \) theo modulo 5. Cụ thể, ta sẽ kiểm tra các giá trị \( n \) từ 0 đến 4 (vì các giá trị khác sẽ lặp lại theo chu kỳ 5).

1. Với \( n \equiv 0 \pmod{5} \):
\[
n^2 + n + 2 \equiv 0^2 + 0 + 2 \equiv 2 \pmod{5}
\]
Không chia hết cho 5.

2. Với \( n \equiv 1 \pmod{5} \):
\[
n^2 + n + 2 \equiv 1^2 + 1 + 2 \equiv 1 + 1 + 2 \equiv 4 \pmod{5}
\]
Không chia hết cho 5.

3. Với \( n \equiv 2 \pmod{5} \):
\[
n^2 + n + 2 \equiv 2^2 + 2 + 2 \equiv 4 + 2 + 2 \equiv 8 \equiv 3 \pmod{5}
\]
Không chia hết cho 5.

4. Với \( n \equiv 3 \pmod{5} \):
\[
n^2 + n + 2 \equiv 3^2 + 3 + 2 \equiv 9 + 3 + 2 \equiv 14 \equiv 4 \pmod{5}
\]
Không chia hết cho 5.

5. Với \( n \equiv 4 \pmod{5} \):
\[
n^2 + n + 2 \equiv 4^2 + 4 + 2 \equiv 16 + 4 + 2 \equiv 22 \equiv 2 \pmod{5}
\]
Không chia hết cho 5.

Từ các kết quả trên, ta thấy rằng không có giá trị \( n \) nào từ 0 đến 4 mà \( n^2 + n + 2 \equiv 0 \pmod{5} \).

Do đó, không tồn tại số nguyên \( n \) nào sao cho \( n^2 + n + 2 \) chia hết cho 5.