Tính góc giữa vecto SC và AB

Để tính góc giữa hai vectơ \(\vec{SC}\) và \(\vec{AB}\) trong hình chóp \(S.ABC\) với các điều kiện đã cho, ta thực hiện các bước sau:

1. **Xác định tọa độ các điểm:**

Giả sử \(A\) nằm tại gốc tọa độ \(A(0, 0, 0)\).

Do \(AB = a\), ta có thể đặt \(B(a, 0, 0)\).

Do \(BC = a\sqrt{2}\) và \(AB = a\), \(C\) nằm trên đường tròn bán kính \(a\sqrt{2}\) với tâm \(B\). Vì \(C\) cũng phải thỏa mãn điều kiện \(AC = a\), ta có thể đặt \(C(a/2, a\sqrt{3}/2, 0)\).

Điểm \(S\) nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \(ABC\) và cách đều các điểm \(A\), \(B\), \(C\). Do đó, tọa độ của \(S\) có thể là \(S(a/2, a\sqrt{3}/6, h)\) với \(h\) là độ cao của hình chóp.

2. **Tính độ cao \(h\):**

Từ điều kiện \(SA = SB = SC = a\), ta có:
\[
SA = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2 + h^2} = a
\]
\[
\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2 + h^2 = a^2
\]
\[
\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{12} + h^2 = a^2
\]
\[
\frac{3a^2}{12} + \frac{a^2}{12} + h^2 = a^2
\]
\[
\frac{4a^2}{12} + h^2 = a^2
\]
\[
\frac{a^2}{3} + h^2 = a^2
\]
\[
h^2 = a^2 - \frac{a^2}{3}
\]
\[
h^2 = \frac{2a^2}{3}
\]
\[
h = \frac{a\sqrt{6}}{3}
\]

Vậy tọa độ của \(S\) là \(S\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{6}, \frac{a\sqrt{6}}{3}\right)\).

3. **Tính các vectơ \(\vec{SC}\) và \(\vec{AB}\):**

\[
\vec{SC} = \left(\frac{a}{2} - \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{6} - \frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{a\sqrt{6}}{3} - 0\right) = \left(0, -\frac{a\sqrt{3}}{3}, \frac{a\sqrt{6}}{3}\right)
\]
\[
\vec{AB} = (a - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (a, 0, 0)
\]

4. **Tính tích vô hướng và độ lớn của các vectơ:**

\[
\vec{SC} \cdot \vec{AB} = 0 \cdot a + \left(-\frac{a\sqrt{3}}{3}\right) \cdot 0 + \frac{a\sqrt{6}}{3} \cdot 0 = 0
\]

\[
|\vec{SC}| = \sqrt{0^2 + \left(-\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{6}}{3}\right)^2} = \sqrt{0 + \frac{a^2 \cdot 3}{9} + \frac{a^2 \cdot 6}{9}} = \sqrt{\frac{3a^2}{9} + \frac{6a^2}{9}} = \sqrt{a^2} = a
\]

\[
|\vec{AB}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + 0^2} = a
\]

5. **Tính góc giữa hai vectơ:**

\[
\cos \theta = \frac{\vec{SC} \cdot \vec{AB}}{|\vec{SC}| |\vec{AB}|} = \frac{0}{a \cdot a} = 0
\]

\[
\theta = \arccos(0) = \frac{\pi}{2}
\]

Vậy góc giữa vectơ \(\vec{SC}\) và \(\vec{AB}\) là \(\frac{\pi}{2}\) (90 độ).