Để giải quyết các bài toán này, ta cần sử dụng các kiến thức về hình học không gian và vecto. Hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có các đỉnh A, B, C, D ở mặt đáy và A', B', C', D' ở mặt trên. Các cạnh của hình lập phương đều bằng 5.

### Câu 1a: Tính góc giữa các cặp vecto AC và AB; AD' và BD

#### Góc giữa vecto AC và AB
- Vecto \(\overrightarrow{AB}\) có tọa độ: \((5, 0, 0)\)
- Vecto \(\overrightarrow{AC}\) có tọa độ: \((5, 5, 0)\)

Để tính góc giữa hai vecto, ta sử dụng công thức:
\[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}|} \]

Tích vô hướng của \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\):
\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 5 \cdot 5 + 0 \cdot 5 + 0 \cdot 0 = 25 \]

Độ dài của \(\overrightarrow{AB}\):
\[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{5^2 + 0^2 + 0^2} = 5 \]

Độ dài của \(\overrightarrow{AC}\):
\[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{5^2 + 5^2 + 0^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

Vậy:
\[ \cos \theta = \frac{25}{5 \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{25}{25\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Suy ra:
\[ \theta = 45^\circ \]

#### Góc giữa vecto AD' và BD
- Vecto \(\overrightarrow{AD'}\) có tọa độ: \((0, 0, 5)\)
- Vecto \(\overrightarrow{BD}\) có tọa độ: \((-5, 5, 0)\)

Tích vô hướng của \(\overrightarrow{AD'}\) và \(\overrightarrow{BD}\):
\[ \overrightarrow{AD'} \cdot \overrightarrow{BD} = 0 \cdot (-5) + 0 \cdot 5 + 5 \cdot 0 = 0 \]

Độ dài của \(\overrightarrow{AD'}\):
\[ |\overrightarrow{AD'}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 5^2} = 5 \]

Độ dài của \(\overrightarrow{BD}\):
\[ |\overrightarrow{BD}| = \sqrt{(-5)^2 + 5^2 + 0^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

Vậy:
\[ \cos \theta = \frac{0}{5 \cdot 5\sqrt{2}} = 0 \]

Suy ra:
\[ \theta = 90^\circ \]

### Câu 1b: Chứng minh AC' vuông góc với BD

- Vecto \(\overrightarrow{AC'}\) có tọa độ: \((5, 5, 5)\)
- Vecto \(\overrightarrow{BD}\) có tọa độ: \((-5, 5, 0)\)

Tích vô hướng của \(\overrightarrow{AC'}\) và \(\overrightarrow{BD}\):
\[ \overrightarrow{AC'} \cdot \overrightarrow{BD} = 5 \cdot (-5) + 5 \cdot 5 + 5 \cdot 0 = -25 + 25 + 0 = 0 \]

Vì tích vô hướng bằng 0, nên hai vecto \(\overrightarrow{AC'}\) và \(\overrightarrow{BD}\) vuông góc với nhau.

Vậy ta đã chứng minh được \(\overrightarrow{AC'}\) vuông góc với \(\overrightarrow{BD}\).