Giải hệ phương trình

Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
\sqrt{x-1} + \sqrt{y-1} = 2 \\
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1
\end{cases}
\]

Ta sẽ giải từng phương trình một và sau đó kết hợp chúng lại.

**Bước 1: Giải phương trình đầu tiên**

\[
\sqrt{x-1} + \sqrt{y-1} = 2
\]

Đặt \( \sqrt{x-1} = a \) và \( \sqrt{y-1} = b \). Khi đó, phương trình trở thành:

\[
a + b = 2
\]

**Bước 2: Giải phương trình thứ hai**

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1
\]

Thay \( x = a^2 + 1 \) và \( y = b^2 + 1 \) vào phương trình thứ hai:

\[
\frac{1}{a^2 + 1} + \frac{1}{b^2 + 1} = 1
\]

Do \( a + b = 2 \), ta có \( b = 2 - a \). Thay vào phương trình trên:

\[
\frac{1}{a^2 + 1} + \frac{1}{(2-a)^2 + 1} = 1
\]

**Bước 3: Giải phương trình**

Ta cần giải phương trình:

\[
\frac{1}{a^2 + 1} + \frac{1}{(2-a)^2 + 1} = 1
\]

Thử các giá trị của \( a \):

- Nếu \( a = 1 \), thì \( b = 2 - 1 = 1 \).

Thay \( a = 1 \) và \( b = 1 \) vào phương trình:

\[
\frac{1}{1^2 + 1} + \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1
\]

Điều này thỏa mãn phương trình. Vậy \( a = 1 \) và \( b = 1 \) là nghiệm của phương trình.

**Bước 4: Tìm \( x \) và \( y \)**

Với \( a = 1 \) và \( b = 1 \):

\[
x = a^2 + 1 = 1^2 + 1 = 2
\]
\[
y = b^2 + 1 = 1^2 + 1 = 2
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

\[
\boxed{(x, y) = (2, 2)}
\]