Để tìm số tự nhiên \( x \) thỏa mãn các điều kiện sau:
1. Khi chia cho 5 dư 4.
2. Khi chia cho 7 dư 3.
3. Hiệu hai thương là 111.

Ta có các biểu thức:
\[ x \equiv 4 \pmod{5} \]
\[ x \equiv 3 \pmod{7} \]

Giả sử \( x = 5a + 4 \) và \( x = 7b + 3 \). Từ đó, ta có:
\[ 5a + 4 = 7b + 3 \]
\[ 5a - 7b = -1 \]

Để giải phương trình Diophantine này, ta cần tìm nghiệm nguyên của \( a \) và \( b \). Ta sẽ thử các giá trị của \( a \) và kiểm tra xem \( b \) có là số nguyên hay không.

Thử \( a = 1 \):
\[ 5(1) - 7b = -1 \]
\[ 5 - 7b = -1 \]
\[ -7b = -6 \]
\[ b = \frac{6}{7} \] (không phải số nguyên)

Thử \( a = 2 \):
\[ 5(2) - 7b = -1 \]
\[ 10 - 7b = -1 \]
\[ -7b = -11 \]
\[ b = \frac{11}{7} \] (không phải số nguyên)

Thử \( a = 3 \):
\[ 5(3) - 7b = -1 \]
\[ 15 - 7b = -1 \]
\[ -7b = -16 \]
\[ b = \frac{16}{7} \] (không phải số nguyên)

Thử \( a = 4 \):
\[ 5(4) - 7b = -1 \]
\[ 20 - 7b = -1 \]
\[ -7b = -21 \]
\[ b = 3 \] (là số nguyên)

Vậy nghiệm của phương trình là \( a = 4 \) và \( b = 3 \). Từ đó:
\[ x = 5a + 4 = 5(4) + 4 = 20 + 4 = 24 \]

Tuy nhiên, chúng ta cần kiểm tra điều kiện hiệu hai thương là 111. Ta có:
\[ \left\lfloor \frac{x}{5} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{24}{5} \right\rfloor = 4 \]
\[ \left\lfloor \frac{x}{7} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{24}{7} \right\rfloor = 3 \]
\[ 4 - 3 = 1 \neq 111 \]

Do đó, chúng ta cần tìm các nghiệm khác của phương trình Diophantine. Ta biết rằng nghiệm tổng quát của phương trình \( 5a - 7b = -1 \) là:
\[ a = 4 + 7k \]
\[ b = 3 + 5k \]
với \( k \) là số nguyên.

Ta cần tìm \( k \) sao cho hiệu hai thương là 111:
\[ \left\lfloor \frac{x}{5} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{x}{7} \right\rfloor = 111 \]
\[ \left\lfloor \frac{5(4 + 7k) + 4}{5} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{5(4 + 7k) + 4}{7} \right\rfloor = 111 \]
\[ \left\lfloor 4 + 7k + \frac{4}{5} \right\rfloor - \left\lfloor 2 + 5k + \frac{4}{7} \right\rfloor = 111 \]
\[ (4 + 7k) - (2 + 5k) = 111 \]
\[ 2 + 2k = 111 \]
\[ 2k = 109 \]
\[ k = 54.5 \] (không phải số nguyên)

Có vẻ như có một sai sót trong cách tiếp cận. Do đó, chúng ta cần kiểm tra lại các bước hoặc tìm một cách tiếp cận khác để giải quyết vấn đề này.