Để giải hệ phương trình với các điều kiện đã cho, chúng ta sẽ phân tích từng phương trình một cách chi tiết.

Phương trình đầu tiên:
\[ x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx \]

Phương trình này có thể được viết lại dưới dạng:
\[ x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = 0 \]

Chúng ta có thể sắp xếp lại để thấy rằng:
\[ \frac{1}{2} \left( (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \right) = 0 \]

Điều này chỉ có thể xảy ra nếu và chỉ nếu:
\[ (x-y)^2 = 0 \]
\[ (y-z)^2 = 0 \]
\[ (z-x)^2 = 0 \]

Từ đó, ta suy ra:
\[ x = y = z \]

Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng điều kiện này để giải phương trình thứ hai:
\[ x^{2016} + y^{2016} + z^{2016} = 3^{2017} \]

Vì \( x = y = z \), phương trình này trở thành:
\[ 3x^{2016} = 3^{2017} \]

Chia cả hai vế cho 3, ta được:
\[ x^{2016} = 3^{2016} \]

Do đó:
\[ x = 3 \]

Vì \( x = y = z \), ta có:
\[ y = 3 \]
\[ z = 3 \]

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là:
\[ x = 3, y = 3, z = 3 \]