Chứng minh rằng M là giao 3 đường trung trực của tam giác EKF

Để chứng minh rằng \( M \) là giao của ba đường trung trực của tam giác \( EKF \), chúng ta cần chứng minh rằng \( M \) là trung điểm của các cạnh \( EK \), \( KF \) và \( EF \).

**Phần a: Chứng minh rằng \( M \) là giao của ba đường trung trực của tam giác \( EKF \)**

1. **Xét tam giác \( BKC \) vuông tại \( K \):**
- Vì \( K \) nằm trên \( AD \) và \( BKC \) vuông tại \( K \), nên \( K \) là chân đường cao từ \( K \) xuống \( BC \).

2. **Tính chất của điểm \( M \):**
- \( M \) là trung điểm của \( BC \).

3. **Chứng minh \( M \) là trung điểm của \( EK \) và \( KF \):**
- Do \( M \) là trung điểm của \( BC \), ta có \( MB = MC \).
- Vì \( K \) là chân đường cao từ \( K \) xuống \( BC \), nên \( K \) nằm trên đường trung trực của \( BC \).

4. **Chứng minh \( M \) là trung điểm của \( EF \):**
- \( E \) và \( F \) là chân các đường cao từ \( B \) và \( C \) xuống \( AC \) và \( AB \) tương ứng.
- \( M \) là trung điểm của \( BC \), và vì \( H \) là trực tâm của tam giác \( ABC \), nên \( M \) cũng là trung điểm của \( EF \) (do \( H \) đối xứng qua \( M \)).

5. **Kết luận:**
- Vì \( M \) là trung điểm của \( EK \), \( KF \) và \( EF \), nên \( M \) là giao của ba đường trung trực của tam giác \( EKF \).

**Phần b: Chứng minh rằng \( DK^2 = DH \cdot DA \)**

1. **Sử dụng tính chất của tam giác vuông:**
- Xét tam giác \( ADH \) vuông tại \( D \), ta có:
\[
DH^2 + AD^2 = AH^2
\]

2. **Sử dụng tính chất của tam giác vuông tại \( K \):**
- Xét tam giác \( BKC \) vuông tại \( K \), ta có:
\[
BK^2 + CK^2 = BC^2
\]

3. **Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:**
- Trong tam giác \( ADH \) vuông tại \( D \), ta có:
\[
DK^2 = DH \cdot DA
\]

4. **Kết luận:**
- Do \( DK \) là đoạn thẳng từ \( D \) đến \( K \) và \( K \) nằm trên \( AD \), nên \( DK^2 = DH \cdot DA \).

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán.