Để tìm số nguyên tố \( p \) thỏa mãn \( 13p + 1 \) là số chính phương, ta có thể làm theo các bước sau:

Giả sử \( 13p + 1 = k^2 \) với \( k \) là một số nguyên.

Khi đó, ta có phương trình:
\[ 13p = k^2 - 1 \]
\[ 13p = (k - 1)(k + 1) \]

Vì \( p \) là số nguyên tố, nên \( 13p \) phải là tích của hai số liên tiếp \( (k - 1) \) và \( (k + 1) \). Do đó, một trong hai số này phải chia hết cho 13 và số còn lại phải bằng \( p \).

Xét hai trường hợp:

1. \( k - 1 = 13 \) và \( k + 1 = p \):
\[ k - 1 = 13 \]
\[ k = 14 \]
\[ k + 1 = 15 \]
\[ p = 15 \]

Tuy nhiên, 15 không phải là số nguyên tố.

2. \( k - 1 = p \) và \( k + 1 = 13 \):
\[ k + 1 = 13 \]
\[ k = 12 \]
\[ k - 1 = 11 \]
\[ p = 11 \]

11 là số nguyên tố.

Vậy số nguyên tố \( p \) thỏa mãn điều kiện \( 13p + 1 \) là số chính phương là \( p = 11 \).

Kiểm tra lại:
\[ 13 \times 11 + 1 = 143 + 1 = 144 \]
\[ 144 = 12^2 \]

Do đó, \( 13p + 1 \) là số chính phương khi \( p = 11 \).