Để chứng minh \( A = 4 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \ldots + 2^{21} \) là số chính phương, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Biến đổi biểu thức:**

Đầu tiên, ta nhận thấy rằng \( 4 = 2^2 \). Do đó, ta có thể viết lại biểu thức \( A \) như sau:
\[
A = 2^2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \ldots + 2^{21}
\]

2. **Tách phần tử đầu tiên:**

Ta tách phần tử đầu tiên ra khỏi tổng:
\[
A = 2^2 + (2^2 + 2^3 + 2^4 + \ldots + 2^{21})
\]

3. **Nhóm các số hạng còn lại:**

Ta nhận thấy rằng phần còn lại của tổng là một cấp số nhân với công bội \( 2 \) và số hạng đầu tiên là \( 2^2 \). Tổng của cấp số nhân này có thể được tính bằng công thức tổng của cấp số nhân:
\[
S = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]
Trong đó:
- \( a = 2^2 \)
- \( r = 2 \)
- \( n = 20 \) (vì từ \( 2^2 \) đến \( 2^{21} \) có 20 số hạng)

Do đó, tổng của các số hạng từ \( 2^2 \) đến \( 2^{21} \) là:
\[
S = 2^2 \frac{2^{20} - 1}{2 - 1} = 4 (2^{20} - 1)
\]

4. **Tính tổng \( A \):**

Bây giờ, ta có:
\[
A = 2^2 + 4 (2^{20} - 1)
\]
\[
A = 4 + 4 (2^{20} - 1)
\]
\[
A = 4 + 4 \cdot 2^{20} - 4
\]
\[
A = 4 \cdot 2^{20}
\]
\[
A = 2^2 \cdot 2^{20}
\]
\[
A = 2^{22}
\]

5. **Kiểm tra số chính phương:**

Ta nhận thấy rằng \( 2^{22} \) là một lũy thừa của 2 với số mũ chẵn. Do đó, \( 2^{22} \) có thể được viết dưới dạng bình phương của một số nguyên:
\[
2^{22} = (2^{11})^2
\]

Vì \( 2^{11} \) là một số nguyên, nên \( 2^{22} \) là một số chính phương.

Kết luận, \( A = 4 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \ldots + 2^{21} \) là một số chính phương.