Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AD và BC. Gọi H, G lần lượt là giao điểm của MN với hai đường chéo AC, BD. CMR : AC = BD khi và chỉ khi góc AHM = góc BGN

Để chứng minh rằng \( AC = BD \) khi và chỉ khi \( \angle AHM = \angle BGN \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

**1. Chứng minh \( AC = BD \) suy ra \( \angle AHM = \angle BGN \):**

Giả sử \( AC = BD \).

- Vì \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của \( AD \) và \( BC \), nên \( MN \) là đường trung bình của tứ giác \( ABCD \).
- Do đó, \( MN \parallel AB \) và \( MN \parallel CD \).

Xét tam giác \( \triangle AHC \):

- \( M \) là trung điểm của \( AD \), nên \( AM = MD \).
- \( H \) là giao điểm của \( MN \) với \( AC \), nên \( H \) chia \( AC \) thành hai đoạn bằng nhau (do \( MN \parallel AB \)).

Tương tự, xét tam giác \( \triangle BGD \):

- \( N \) là trung điểm của \( BC \), nên \( BN = NC \).
- \( G \) là giao điểm của \( MN \) với \( BD \), nên \( G \) chia \( BD \) thành hai đoạn bằng nhau (do \( MN \parallel CD \)).

Vì \( AC = BD \), nên \( \triangle AHC \) và \( \triangle BGD \) là hai tam giác đồng dạng (có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau).

Do đó, \( \angle AHM = \angle BGN \).

**2. Chứng minh \( \angle AHM = \angle BGN \) suy ra \( AC = BD \):**

Giả sử \( \angle AHM = \angle BGN \).

- Vì \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( AD \) và \( BC \), nên \( MN \) là đường trung bình của tứ giác \( ABCD \).
- Do đó, \( MN \parallel AB \) và \( MN \parallel CD \).

Xét tam giác \( \triangle AHC \):

- \( M \) là trung điểm của \( AD \), nên \( AM = MD \).
- \( H \) là giao điểm của \( MN \) với \( AC \), nên \( H \) chia \( AC \) thành hai đoạn bằng nhau (do \( MN \parallel AB \)).

Tương tự, xét tam giác \( \triangle BGD \):

- \( N \) là trung điểm của \( BC \), nên \( BN = NC \).
- \( G \) là giao điểm của \( MN \) với \( BD \), nên \( G \) chia \( BD \) thành hai đoạn bằng nhau (do \( MN \parallel CD \)).

Vì \( \angle AHM = \angle BGN \), nên \( \triangle AHC \) và \( \triangle BGD \) là hai tam giác đồng dạng (có các góc tương ứng bằng nhau).

Do đó, \( AC = BD \).

**Kết luận:**

Từ hai phần chứng minh trên, ta có thể kết luận rằng \( AC = BD \) khi và chỉ khi \( \angle AHM = \angle BGN \).