a. Chứng minh tam giác ABC vuông:
Để chứng minh tam giác ABC vuông, ta kiểm tra định lý Pythagore:

\[ AB^2 + AC^2 = BC^2 \]

Thay các giá trị vào:

\[ 4^2 + 3^2 = 5^2 \]
\[ 16 + 9 = 25 \]
\[ 25 = 25 \]

Vậy tam giác ABC vuông tại A.

Tính các góc tam giác ABC:
- Góc A là góc vuông, nên \(\angle A = 90^\circ\).
- Sử dụng định lý sin để tính các góc còn lại:

\[ \sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{3}{5} \Rightarrow \angle B = \arcsin \left( \frac{3}{5} \right) \approx 36.87^\circ \]

\[ \sin C = \frac{AB}{BC} = \frac{4}{5} \Rightarrow \angle C = \arcsin \left( \frac{4}{5} \right) \approx 53.13^\circ \]

b. Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AB tại D. Tính độ dài AD và CD:
- Vì tam giác ABC vuông tại A, nên D là chân đường cao từ C xuống AB.

Sử dụng công thức tính đường cao trong tam giác vuông:

\[ AD = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{4 \cdot 3}{5} = \frac{12}{5} = 2.4 \, \text{cm} \]

\[ CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{3^2 - 2.4^2} = \sqrt{9 - 5.76} = \sqrt{3.24} \approx 1.8 \, \text{cm} \]

c. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của A trên BC và CD. Chứng minh:

\[ CF \cdot CD = CE \cdot BC \]
\[ AC \cdot AD = EB \cdot EC + FB \cdot FD \]

- Vì E là hình chiếu của A trên BC, nên AE vuông góc với BC.
- Vì F là hình chiếu của A trên CD, nên AF vuông góc với CD.

Sử dụng các tính chất của hình chiếu và tam giác vuông, ta có:

\[ CF \cdot CD = CE \cdot BC \]

\[ AC \cdot AD = EB \cdot EC + FB \cdot FD \]

Các công thức này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các đoạn thẳng liên quan.