Để tính độ dài đường cao AH trong tam giác ABC, ta có thể sử dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác và sau đó sử dụng diện tích để tính đường cao.

Bước 1: Tính nửa chu vi của tam giác ABC:
\[ s = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{20 + 48 + 52}{2} = 60 \, \text{cm} \]

Bước 2: Tính diện tích tam giác ABC bằng công thức Heron:
\[ \text{Diện tích} = \sqrt{s(s - AB)(s - AC)(s - BC)} \]
\[ \text{Diện tích} = \sqrt{60(60 - 20)(60 - 48)(60 - 52)} \]
\[ \text{Diện tích} = \sqrt{60 \times 40 \times 12 \times 8} \]
\[ \text{Diện tích} = \sqrt{60 \times 40 \times 96} \]
\[ \text{Diện tích} = \sqrt{230400} \]
\[ \text{Diện tích} = 480 \, \text{cm}^2 \]

Bước 3: Sử dụng diện tích để tính đường cao AH:
Diện tích tam giác ABC cũng có thể được tính bằng công thức:
\[ \text{Diện tích} = \frac{1}{2} \times BC \times AH \]
Do đó:
\[ 480 = \frac{1}{2} \times 52 \times AH \]
\[ 480 = 26 \times AH \]
\[ AH = \frac{480}{26} \]
\[ AH \approx 18.46 \, \text{cm} \]

Vậy độ dài đường cao AH là khoảng 18.46 cm.