Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh các phần và tính toán các độ dài theo yêu cầu.

**a) Chứng minh \( AK = KC \) và \( BI = ID \)**

1. **Chứng minh \( AK = KC \)**

- Vì \( E \) là trung điểm của \( AD \), nên \( AE = ED \).
- Vì \( I \) là trung điểm của \( BD \), nên \( BI = ID \).
- Xét tam giác \( ABD \), \( E \) và \( I \) lần lượt là trung điểm của \( AD \) và \( BD \). Do đó, \( EI \) là đường trung bình của tam giác \( ABD \).
- Đường trung bình \( EI \) song song với \( AB \) và bằng nửa độ dài của \( AB \).

- Xét tam giác \( ACD \):
- \( E \) là trung điểm của \( AD \).
- \( EI \) cắt \( AC \) tại \( K \).

- Theo định lý đường trung bình trong tam giác, \( K \) là trung điểm của \( AC \). Do đó, \( AK = KC \).

2. **Chứng minh \( BI = ID \)**

- Điều này đã được chứng minh ở trên khi \( I \) là trung điểm của \( BD \).

**b) Tính độ dài các đoạn \( EI \), \( KF \), \( IK \)**

1. **Tính độ dài \( EI \)**

- \( E \) là trung điểm của \( AD \) và \( I \) là trung điểm của \( BD \).
- Đường trung bình \( EI \) của tam giác \( ABD \) song song với \( AB \) và bằng nửa độ dài của \( AB \).
- Do đó, \( EI = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 6 = 3 \) cm.

2. **Tính độ dài \( KF \)**

- \( K \) là trung điểm của \( AC \) (đã chứng minh ở phần a).
- \( F \) là giao điểm của \( EI \) với \( BC \).
- Xét tam giác \( BCD \):
- \( I \) là trung điểm của \( BD \).
- \( EI \) là đường trung bình của tam giác \( BCD \), nên \( F \) là trung điểm của \( BC \).

- Do đó, \( KF = \frac{1}{2} BC \).

- Để tính \( BC \), ta cần biết độ dài của \( AC \). Tuy nhiên, trong bài toán này, không có thông tin về độ dài của \( AC \). Do đó, chúng ta không thể tính chính xác độ dài của \( KF \) mà không có thêm thông tin.

3. **Tính độ dài \( IK \)**

- \( I \) là trung điểm của \( BD \) và \( K \) là trung điểm của \( AC \).
- Xét tam giác \( ABD \):
- \( E \) là trung điểm của \( AD \).
- \( EI \) là đường trung bình của tam giác \( ABD \), nên \( EI \) song song với \( AB \) và bằng nửa độ dài của \( AB \).

- Do đó, \( IK \) là một đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh của tam giác \( ABD \), và bằng nửa độ dài của cạnh thứ ba của tam giác đó.
- \( IK = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 6 = 3 \) cm.

Tóm lại:
- \( EI = 3 \) cm.
- \( KF \) không thể tính chính xác mà không có thêm thông tin về độ dài của \( AC \).
- \( IK = 3 \) cm.