Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần:

a) Chứng minh tứ giác APMR là hình thang cân:
- Do M là điểm nằm trong tam giác đều ABC, nên các đường thẳng qua M song song với các cạnh của tam giác ABC sẽ tạo ra các đoạn thẳng song song với các cạnh tương ứng.
- Đường thẳng qua M song song với BC cắt AB tại P, do đó AP song song với BC.
- Đường thẳng qua M song song với CA cắt BC tại Q, do đó MQ song song với CA.
- Đường thẳng qua M song song với AB cắt CA tại R, do đó MR song song với AB.
- Từ đó, ta có AP song song với MR, tức là tứ giác APMR có hai cạnh đối song song, nên APMR là hình thang.
- Vì tam giác ABC là tam giác đều, nên các đoạn thẳng AP và MR có độ dài bằng nhau, do đó tứ giác APMR là hình thang cân.

b) Chứng minh rằng chu vi tam giác POR bằng tổng độ dài MA + MB + MC:
- Xét tam giác ABC đều, các đường thẳng qua M song song với các cạnh của tam giác ABC chia tam giác ABC thành 6 tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau.
- Các đoạn thẳng MA, MB, MC lần lượt là các đường cao của các tam giác nhỏ này.
- Chu vi tam giác POR bằng tổng độ dài các đoạn thẳng PO, OR và RP.
- Do các đoạn thẳng PO, OR và RP lần lượt bằng các đoạn thẳng MA, MB và MC, nên chu vi tam giác POR bằng tổng độ dài MA + MB + MC.

c) Hỏi với vị trí nào của M thì tam giác POR là tam giác đều?
- Để tam giác POR là tam giác đều, điểm M phải nằm tại tâm của tam giác đều ABC.
- Khi đó, các đoạn thẳng PO, OR và RP sẽ bằng nhau và bằng độ dài của các đoạn thẳng từ tâm đến các đỉnh của tam giác đều ABC.
- Do đó, tam giác POR sẽ là tam giác đều khi M là tâm của tam giác đều ABC.