Để chứng minh rằng \( AG \) là đường trung trực của đoạn thẳng \( BD \) trong tứ giác \( ABCD \), ta cần chứng minh rằng \( AG \) vuông góc với \( BD \) tại trung điểm của \( BD \).

1. **Tứ giác \( ABCD \) có \( AB = AD \) và \( CB = CD \)**:
- Điều này cho thấy \( ABCD \) là một hình thang cân hoặc hình bình hành.

2. **Chứng minh \( AG \) là đường trung trực của đoạn thẳng \( BD \)**:
- Gọi \( G \) là giao điểm của \( AC \) và \( BD \).
- Vì \( AB = AD \) và \( CB = CD \), nên \( ABCD \) là một hình thang cân, với \( AC \) là đường chéo chung.

3. **Xét tam giác \( ABD \) và tam giác \( CBD \)**:
- \( AB = AD \) và \( CB = CD \).
- \( \angle ABD = \angle CBD \) (do \( ABCD \) là hình thang cân).

4. **Chứng minh \( G \) là trung điểm của \( BD \)**:
- Do \( \angle ABD = \angle CBD \) và \( AB = AD \), nên \( G \) là trung điểm của \( BD \).

5. **Chứng minh \( AG \) vuông góc với \( BD \)**:
- Xét tam giác \( ABD \) và tam giác \( CBD \), ta có:
- \( AB = AD \)
- \( CB = CD \)
- \( \angle ABD = \angle CBD \)
- Do đó, \( AG \) là đường trung trực của \( BD \).

Vậy, \( AG \) là đường trung trực của đoạn thẳng \( BD \).