Giải phương trình

Để giải phương trình \( \frac{1}{x+2} + \frac{2x}{(x-2)(x+30)} = 1 + \frac{x}{2-x} \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Tìm mẫu số chung**:
- Các mẫu số trong phương trình là \( x+2 \), \( (x-2)(x+30) \), và \( 2-x \).
- Chúng ta cần tìm mẫu số chung cho các phân số này. Mẫu số chung sẽ là \( (x+2)(x-2)(x+30) \).

2. **Quy đồng mẫu số**:
- Ta sẽ quy đồng mẫu số của các phân số về mẫu số chung \( (x+2)(x-2)(x+30) \).

3. **Biến đổi phương trình**:
- Ta nhân cả hai vế của phương trình với mẫu số chung để loại bỏ các mẫu số.

Bắt đầu từ phương trình ban đầu:
\[ \frac{1}{x+2} + \frac{2x}{(x-2)(x+30)} = 1 + \frac{x}{2-x} \]

Nhân cả hai vế với \( (x+2)(x-2)(x+30) \):
\[ \frac{(x-2)(x+30)}{x+2} + \frac{2x(x+2)}{(x-2)(x+30)} \cdot (x+2)(x-2)(x+30) = (1 + \frac{x}{2-x}) \cdot (x+2)(x-2)(x+30) \]

Rút gọn các phân số:
\[ (x-2)(x+30) + 2x(x+2) = (x+2)(x-2)(x+30) + x(x+2)(x+30) \]

4. **Mở rộng và đơn giản hóa**:
- Mở rộng các biểu thức và đơn giản hóa.

Mở rộng vế trái:
\[ (x-2)(x+30) + 2x(x+2) = x^2 + 30x - 2x - 60 + 2x^2 + 4x = 3x^2 + 32x - 60 \]

Mở rộng vế phải:
\[ (x+2)(x-2)(x+30) + x(x+2)(x+30) = (x^2 - 4)(x+30) + x(x^2 + 32x + 60) \]
\[ = x^3 + 30x^2 - 4x - 120 + x^3 + 32x^2 + 60x \]
\[ = 2x^3 + 62x^2 + 56x - 120 \]

5. **So sánh hai vế**:
\[ 3x^2 + 32x - 60 = 2x^3 + 62x^2 + 56x - 120 \]

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế:
\[ 0 = 2x^3 + 62x^2 + 56x - 120 - 3x^2 - 32x + 60 \]
\[ 0 = 2x^3 + 59x^2 + 24x - 60 \]

6. **Giải phương trình bậc ba**:
- Phương trình này là một phương trình bậc ba, và có thể giải bằng cách thử nghiệm các nghiệm hữu tỉ, hoặc sử dụng các phương pháp giải phương trình bậc ba.

Thử nghiệm các nghiệm hữu tỉ:
- Các nghiệm hữu tỉ có thể là các ước của hệ số tự do (-60) chia cho các ước của hệ số cao nhất (2).

Thử nghiệm \( x = 1 \):
\[ 2(1)^3 + 59(1)^2 + 24(1) - 60 = 2 + 59 + 24 - 60 = 25 \neq 0 \]

Thử nghiệm \( x = -1 \):
\[ 2(-1)^3 + 59(-1)^2 + 24(-1) - 60 = -2 + 59 - 24 - 60 = -27 \neq 0 \]

Thử nghiệm \( x = 2 \):
\[ 2(2)^3 + 59(2)^2 + 24(2) - 60 = 16 + 236 + 48 - 60 = 240 \neq 0 \]

Thử nghiệm \( x = -2 \):
\[ 2(-2)^3 + 59(-2)^2 + 24(-2) - 60 = -16 + 236 - 48 - 60 = 112 \neq 0 \]

Tiếp tục thử nghiệm các nghiệm khác hoặc sử dụng phương pháp khác để giải phương trình bậc ba này.

Do phương trình bậc ba có thể phức tạp, ta có thể sử dụng các công cụ tính toán hoặc phần mềm để tìm nghiệm chính xác.