Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AD và BC. Gọi H, G lần lượt là giao điểm của MN với hai đường chéo AC, BD. CMR : AC = BD khi và chỉ khi góc AHM = góc BGN

Để chứng minh rằng \( AC = BD \) khi và chỉ khi \( \angle AHM = \angle BGN \), ta sẽ xem xét hai chiều của bài toán.

### Chiều 1: Giả sử \( AC = BD \)

Giả sử \( AC = BD \). Ta cần chứng minh rằng \( \angle AHM = \angle BGN \).

1. **Tính chất trung điểm và đường trung bình:**
- M là trung điểm của \( AD \), N là trung điểm của \( BC \).
- Do đó, \( MN \) là đường trung bình của tứ giác \( ABCD \).

2. **Giao điểm của MN với AC và BD:**
- Gọi \( H \) là giao điểm của \( MN \) với \( AC \).
- Gọi \( G \) là giao điểm của \( MN \) với \( BD \).

3. **Tính chất đối xứng:**
- Vì \( M \) và \( N \) là trung điểm, nên \( MN \) song song với \( AB \) và \( CD \).
- Do đó, \( MN \) chia tứ giác \( ABCD \) thành hai tứ giác nhỏ hơn có các cạnh đối diện song song và bằng nhau.

4. **Góc đối đỉnh:**
- Xét hai tam giác \( \triangle AHM \) và \( \triangle BGN \):
- \( H \) và \( G \) là giao điểm của các đường chéo với \( MN \).
- Do \( AC = BD \), các tam giác \( \triangle AHM \) và \( \triangle BGN \) có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc đối đỉnh bằng nhau.

5. **Góc bằng nhau:**
- Vì \( \triangle AHM \) và \( \triangle BGN \) có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc đối đỉnh bằng nhau, nên \( \angle AHM = \angle BGN \).

### Chiều 2: Giả sử \( \angle AHM = \angle BGN \)

Giả sử \( \angle AHM = \angle BGN \). Ta cần chứng minh rằng \( AC = BD \).

1. **Góc bằng nhau:**
- Giả sử \( \angle AHM = \angle BGN \).

2. **Tính chất trung điểm và đường trung bình:**
- M là trung điểm của \( AD \), N là trung điểm của \( BC \).
- Do đó, \( MN \) là đường trung bình của tứ giác \( ABCD \).

3. **Giao điểm của MN với AC và BD:**
- Gọi \( H \) là giao điểm của \( MN \) với \( AC \).
- Gọi \( G \) là giao điểm của \( MN \) với \( BD \).

4. **Tính chất đối xứng:**
- Vì \( M \) và \( N \) là trung điểm, nên \( MN \) song song với \( AB \) và \( CD \).
- Do đó, \( MN \) chia tứ giác \( ABCD \) thành hai tứ giác nhỏ hơn có các cạnh đối diện song song và bằng nhau.

5. **Góc đối đỉnh:**
- Xét hai tam giác \( \triangle AHM \) và \( \triangle BGN \):
- \( H \) và \( G \) là giao điểm của các đường chéo với \( MN \).
- Do \( \angle AHM = \angle BGN \), các tam giác \( \triangle AHM \) và \( \triangle BGN \) có các góc đối đỉnh bằng nhau.

6. **Cạnh bằng nhau:**
- Vì \( \triangle AHM \) và \( \triangle BGN \) có các góc đối đỉnh bằng nhau và các cạnh tương ứng bằng nhau, nên \( AC = BD \).

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \( AC = BD \) khi và chỉ khi \( \angle AHM = \angle BGN \).