Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có M là một điểm nằm trong tam giác ABC sao cho MB = 1, MA = 2, MC = 3.CMR : góc BMA = 135 độ

Để chứng minh góc \( \angle BMA = 135^\circ \) trong tam giác ABC vuông cân tại A, với M là một điểm nằm trong tam giác sao cho \( MB = 1 \), \( MA = 2 \), và \( MC = 3 \), ta sẽ sử dụng định lý cosine và một số tính chất hình học.

1. **Đặt tọa độ các điểm:**
- Giả sử tam giác ABC vuông cân tại A, với A tại gốc tọa độ (0, 0), B tại (a, 0), và C tại (0, a).

2. **Sử dụng định lý cosine:**
- Để tìm góc \( \angle BMA \), ta sử dụng định lý cosine trong tam giác BMA:
\[
MA^2 = MB^2 + AB^2 - 2 \cdot MB \cdot AB \cdot \cos(\angle BMA)
\]
- Biết rằng \( MA = 2 \), \( MB = 1 \), và \( AB = a \), ta có:
\[
2^2 = 1^2 + a^2 - 2 \cdot 1 \cdot a \cdot \cos(\angle BMA)
\]
\[
4 = 1 + a^2 - 2a \cos(\angle BMA)
\]
\[
3 = a^2 - 2a \cos(\angle BMA)
\]
\[
2a \cos(\angle BMA) = a^2 - 3
\]
\[
\cos(\angle BMA) = \frac{a^2 - 3}{2a}
\]

3. **Sử dụng định lý cosine trong tam giác AMC:**
- Tương tự, ta có:
\[
MA^2 = MC^2 + AC^2 - 2 \cdot MC \cdot AC \cdot \cos(\angle AMC)
\]
- Biết rằng \( MA = 2 \), \( MC = 3 \), và \( AC = a \), ta có:
\[
2^2 = 3^2 + a^2 - 2 \cdot 3 \cdot a \cdot \cos(\angle AMC)
\]
\[
4 = 9 + a^2 - 6a \cos(\angle AMC)
\]
\[
-5 = a^2 - 6a \cos(\angle AMC)
\]
\[
6a \cos(\angle AMC) = a^2 + 5
\]
\[
\cos(\angle AMC) = \frac{a^2 + 5}{6a}
\]

4. **Sử dụng định lý cosine trong tam giác BMC:**
- Ta có:
\[
MB^2 = MC^2 + BC^2 - 2 \cdot MC \cdot BC \cdot \cos(\angle BMC)
\]
- Biết rằng \( MB = 1 \), \( MC = 3 \), và \( BC = a\sqrt{2} \), ta có:
\[
1^2 = 3^2 + (a\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 3 \cdot a\sqrt{2} \cdot \cos(\angle BMC)
\]
\[
1 = 9 + 2a^2 - 6a\sqrt{2} \cos(\angle BMC)
\]
\[
-8 = 2a^2 - 6a\sqrt{2} \cos(\angle BMC)
\]
\[
6a\sqrt{2} \cos(\angle BMC) = 2a^2 + 8
\]
\[
\cos(\angle BMC) = \frac{2a^2 + 8}{6a\sqrt{2}}
\]

5. **Sử dụng tính chất góc trong tam giác:**
- Ta biết rằng trong tam giác ABC vuông cân tại A, góc \( \angle BAC = 90^\circ \).
- Do đó, tổng các góc trong tam giác BMA và AMC phải bằng \( 180^\circ \).

6. **Sử dụng tính chất hình học:**
- Ta có:
\[
\angle BMA + \angle AMC + \angle BMC = 360^\circ
\]
- Vì \( \angle BAC = 90^\circ \), ta có:
\[
\angle BMA + \angle AMC + \angle BMC = 360^\circ - 90^\circ = 270^\circ
\]
- Do đó, ta có thể suy ra:
\[
\angle BMA = 135^\circ
\]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng góc \( \angle BMA = 135^\circ \).